правило зворотної різниці :
.
Застосувавши до цього виразу z - перетворення, отримаємо:
.
Операцію інтегрування можна апроксимувати за допомогою формули прямокутників:
,
де u (kT) - вихідний сигнал інтегруючого ланки в момент часу
t=kT.
Застосувавши до цього виразу z - перетворення, отримаємо:
,
звідки передавальна функція інтегруючого ланки:
.
Таким чином, передавальна функція цифрового ПІД-регулятора має вигляд:
.
Або для регулятора зі взаємозалежними налаштуваннями:
.
Оскільки в більшості випадків об'єкт є пристроєм безперервного типу, то для того, щоб змоделювати перехідні процеси в досліджуваній системі необхідно або об'єкт представити в цифровій формі, або отримати еквівалентну передавальну функцію регулятора, що відповідає цифровий реалізації його алгоритму. Для цього проводиться заміна і додається передавальна функція демодулятора.
Оскільки як демодулятор використовується фіксує ланцюг нульового порядку з передавальної функцією:
,
то передавальні функції регуляторів зі взаємозалежними настройками при цифровій реалізації алгоритмів визначаються за формулами:
П-регулятор:
;
ПІ-регулятор:
; (*)
ПІД-регулятор:
.
Розрахунок настроювальних параметрів цифрового регулятора можна проводити аналогічно розрахунку налаштувань аналогового регулятора.
Розрахунок значень параметрів методом розширених частотних характеристик також проводиться по розширеним амплітудно-частотної і фазово-частотної характеристикам об'єкта регулювання. Лінія m=const будується в області позитивних значень налаштувань С1 і С0, де,
.
При цифровій реалізації ПІ-алгоритму розширена амплітудно-фазова характеристика (Рафха) відповідно з виразом (*) визначається виразом:
.
Після заміни, отримуємо наступну залежність:
.
Після перетворень, аналогічних виконаним для аналогового ПІ-регулятора, виходять формули для розрахунку ліній m=const в площині параметрів настроювання цифрового регулятора при в заданому інтервалі квантування сигналів за часом Т:
;
Лінії заданого запасу стійкості, розраховані за наведеними формулами, подібні лініях m=const для аналогового регулятора. При цьому слід враховувати, що чим більше значення інтервалу квантування Т, тим менше в порівнянні з безперервним алгоритмом область заданого запасу стійкості і тим нижче динамічна точність АСР.
2. Практична частина
.1 Розрахунок налаштувань регулятора методом розширених характеристик
.1.1 Розрахунок налаштувань П-регулятора
Знайдемо розширені амплітудно-частотну і фазо-частотну характеристики:
Знайдемо робочу частоту і оптимальну настройку регулятора.
>> [Num, den]=pade (3,2)
>> z=tf ([num], [den])
>> w1=tf ([1], [1,4,1])
>> Wop=w1 * z
>> wp=1,452
