а й 0,49 або 0,51 і т. д. Для надійного визначення ймовірності потрібно проробити велику кількість випробувань (дослідів), що не завжди просто (або дешево).
Класичне визначення ймовірності
Існує простий спосіб визначення ймовірності події, заснований на равновозможних будь-якого з кінцевого числа фіналів досвіду. Нехай проводиться досвід з n наслідками, які можна представити у вигляді повної групи несумісних равновозможних подій. Такі результати називаються випадками, шансами, елементарними подіями, досвід - класичним. Про такий досвід говорять, що він зводиться до схеми випадків або схемі урн (бо імовірнісну задачу для такого досвіду можна замінити еквівалентною їй завданням з урнами, що містять кулі різних кольорів).
Випадок? , Який призводить до настання події А, називається сприятливим (чи - благоприятствующим) йому, тобто випадок? тягне подія A:? А.
Ймовірністю події А називається відношення числа m випадків, благоприятствующих цій події, до загального числа n випадків, тобто
P (A)=
Поряд з позначенням Р (А) для ймовірності події А використовується позначення р, тобто р=Р (А).
З класичного визначення ймовірності (1.3) випливають такі властивості:
1. Імовірність будь-якої події укладена між нулем і одиницею, тобто
? P (A)? 1.
. Імовірність неможливого події дорівнює нулю, тобто
Р (?)=0.
3. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, тобто
Р (?)=1.
. Ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій, тобто якщо А? В =? , То
Р (А + В)=Р (А) + Р (В).
Вони перевіряються так само, як і для відносної частоти (п. 1.5). В даний час властивості ймовірності визначаються у вигляді аксіом (див. п. 1.11).
Приклад 1.6. В урні (ємності) знаходяться 12 білих і 8 чорних куль. Яка ймовірність того, що навмання вийнятий куля буде білим?
Нехай А - подія, яке у тому, що виймуть біла куля. Ясно, що n=12 + 8=20 - число всіх рівно можливих випадків (фіналів досвіду). Число випадків, сприятливих події А, дорівнює 12, тобто m=12. Отже, за формулою (1.3) маємо: Р (А) =, тобто P (A)=0,6.
Елементи комбінаторики
Згідно з класичним визначенням підрахунок ймовірності події А зводиться до підрахунку числа сприяють йому фіналів. Роблять це звичайно комбінаторними методами.
Комбінаторика - розділ математики, в якому вивчаються завдання вибору елементів із заданої множини і розташування їх у групи за заданими правилами, зокрема завдання про підрахунок числа комбінацій (вибірок), одержуваних з елементів заданого кінцевого безлічі. У кожній з них вимагається підрахувати число можливих варіантів здійснення деякої дії, відповісти на питання «скількома способами?».
Багато комбінаторні завдання можуть бути вирішені за допомогою наступних двох важливих правил, які називаються відповідно правилами множення і додавання.
Правило множення (основний принцип): якщо з деякого кінцевого ...
