tify"> При а значить,
Тобто
Висловивши, отримуємо:
Як видно, рішення вийшло глобальне, тобто визначена для будь-кого.
Інтегруючи, одержуємо рішення вихідної задачі - функцію:
Очевидно, що чим більше значення, тим ближче значення функції до нуля. Також можна помітити, що графік функції буде симетричний щодо площині або.
Тепер знайдемо рішення вихідного рівняння за допомогою методу додаткового аргументу.
Маємо:
Друге рівняння можна розглядати як звичайне диференціальне рівняння із перемінними відносно. Тоді
Підставляючи, отримуємо
Згадуючи, що отримуємо:
Тобто
Третє рівняння можна розглядати як лінійне неоднорідне диференціальне рівняння щодо змінної.
Помножимо обидві частини рівняння на
Тоді ліва частина рівняння буде похідною функції:
І
Тоді, інтегруючи, одержуємо:
Отже, функція буде дорівнює
Підставляючи знаходимо постійну:
Тоді
Отже, для програми чисельного рішення вихідного рівняння, потрібно три рівняння:
Візьмемо, тоді:
Програма чисельного рішення грунтуватиметься на методі послідовних наближень. Тому запишемо початкові функції, які будуть використовуватися для обчислення початкових наближень (підставляємо в ці три рівняння):
Рівняння
не містить функції, тому можна обмежитися обчисленням, і потім, користуючись результатами обчислень, знайти з рівняння:
Дискретизація вихідної задачі і її рішення итерациями
Для знаходження функції будуть використовуватися наближені сіточні функції. Для простоти скористаємося рівномірної сіткою.
Завдання чисельних розрахунків - знайти значення функції у вузлах сітки і відтворити результат на графіку. Кінцевою метою є графічне відтворення функції.
Введемо три індексні змінні, відповідні змінним, де - число значень, а число значень. Також необхідно ввести не тільки індексні, а й фізичні обмеження. Для абсциси це буде число, а для часу -. Значення зберігаються в масиві
Для того щоб знаходити значення функції в конкретній точці, необхідно ініціалізувати три масиву:
- масив значень функції
- масив значень функції
- масив значень функції
Знаючи, що функції визначені на рівномірній сітці неважко обчислити крок сітки по і по:
Опишемо метод, на якому засновано чисельне інтегрування сіткових функцій. Нехай дана наступна задача:
де - відома функція, а - невідома функція, яку потрібно визначити. ...
