Визначення: Ортогональним траєкторією даного сімейства плоских кривих називається крива, яка перетинає кожну криву даного сімейства під прямим кутом.
Визначення: Ортогональна траєкторія сімейства дотичних називається евольвентою цієї кривої.
Рівняння евольвенти.
Нехай - рівняння кривої, - дотичний вектор, - радіус-вектор точок на евольвенті.
, - рівняння евольвенти.
.
Натуральні рівняння просторової кривої.
Завдання № 21 (стор.12):
.
.
,
,
,
,
.
Нехай, тоді
,
,
.
,
,
.
4. Теорія поверхонь
Визначення: Геометричне місце точок простору, топологічно еквівалентна множині точок кола на площині, називається простим шматком поверхні.
Визначення: Два простих шматка поверхні називаються склеєними, якщо частини їх меж або цілком обидві межі збігаються між собою.
Визначення: Поверхностью називається безліч точок, які можуть бути склеєні з кінцевого або рахункового безлічі простих шматків.
Рівняння поверхні. Криволінійні координати на поверхні.
, висловлює радіус-вектор точок поверхні в деякій системі координат як функцію двох параметрів u і v
- параметричне рівняння поверхні.
На відміну від кривих, поверхні параметризуються двома параметрами u і v
- матриця Якобі.
Нехай, з теореми про зворотній функції випливає, що перші два рівняння системи (2) можна звернути:,
- завдання поверхні в явному вигляді.
- неявне рівняння поверхні.
Визначення: розглянемо лінії на поверхні, в кожній точці якої виконується: або. Такі лінії на поверхні називаються координатними, а - криволінійними координатами.
Визначення: Якщо в кожній точці поверхні ранг матриці Якобі дорівнює 2, то система криволінійних координат на поверхні називається правильною.
Розглянемо лінію:
- рівняння кривої.
- дотичний вектор до лінії.
Розглянемо лінію:
- рівняння кривої.
- дотичний вектор до лінії.
Визначення: - називаються координатними векторами.
- рядки в матриці Якобі.
Мережа криволінійних координат - правильна не паралельний.
Дотична площина поверхні. Нормаль.
Розглянемо лінію на поверхні, що проходить через точку Р:
- рівняння лінії на поверхні.
- у точці P (u, v).
Визначення: Всі дотичні вектори до всіх кривим, що проходять через точку Р, лежачим на поверхні, що лежать у площині векторів. Ця площина називається дотичній площиною.
- радіус-вектор точок на дотичній площині,
- компланарні вектора, отже,,
- рівняння дотичної площини.
Визначення: нормаль до поверхні називається пряма, перпендикулярна дотичної площини, що проходить через точку дотику.
паралельний нормалі, - радіус-вектор точок нормалі
, тоді виходячи з пропорційності координат можна записати:
- рівняння нормалі.
...
