еми Гаусса-Остроградського.
Перше рішення. Враховуючи форму векторного поля, неважко бачити, що ненульовий потік вектора відбувається через верхню грань і викривлену бічну поверхню.
,,.
Покажемо на малюнку розкладання вектора на компоненти, нормальні до криволінійної і плоскою поверхнях.
Знайдемо потік через викривлену поверхню. Маємо:
,,
.
Ця формула визначає потік векторного поля через бічну поверхню циліндра.
Знайдемо потік векторного поля через верхню підставу циліндра. Маємо
,,
,
.
Друге рішення. Вирішимо цю задачу, використовуючи теорему Гаусса-Остроградського
,
.
Обидва рішення, природно, збігаються.
6. Теорема Стокса
Важливу роль в різних фізичних додатках грає теорема Стокса, яка пов'язує циркуляцію вектора по замкнутому контуру з потоком ротора цього векторного поля по деякій поверхні.
Розглянемо векторне поле і замкнутий контур L. Натягнемо на цей контур деяку поверхню, яку будемо вважати досить гладкою. Розіб'ємо поверхню на маленькі чотирикутники.
Теорема 1 (Стокса). Циркуляція векторного поля по замкнутому контуру L дорівнює потоку ротора цього поля по поверхні, натягнутої на цей контур
.
Доказ. За визначенням ротор в точк?? (Див. рис.) Визначається формулою
.
Просуммируем ці вирази по всіх майданчикам.
.
На малюнку показані циркуляції по сусідніх контурам. З малюнка видно, що інтеграли по межі між контурами взаємно скорочуються. Після підсумовування залишаться тільки криволінійні інтеграли по зовнішній межі L.
Здійснюючи граничний перехід у відповідних інтегральних сумах, отримаємо
.
У розгорнутому вигляді цю формулу можна записати
Відзначимо, що обхід контуру повинен відбуватися проти годинникової стрілки, якщо дивитися з боку зовнішньої нормалі. При цьому вибір поверхні S не грає ролі, важливо лише, щоб ця поверхня спиралася на контур L.
Приклад 1. Обчислити інтеграл
,
де контур інтегрування L - коло.
Рішення. Обчислення інтеграла виконаємо двома методами: 1) безпосередньо; 2) використовуючи теорему Стокса, взявши як поверхні півсферу.
Перше рішення. Зробимо малюнок.
Перейдемо до полярних координат
Підставами функції та їх диференціали в інтеграл і зробимо обчислення.
Друге рішення. Використовуємо теорему Стокса для вирішення цього завдання. Знайдемо ротор
...
