и b? B}.
декартова добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множини. Если A1, A2, ..., An - множини, то їхнім декартовим добутком назівається множини D={(a1, a2, ..., an) | a1? A1, a2? A2, ..., an? An}, яка складається з усіх наборів (a1, a2, ..., an), в шкірному з якіх i-й член, что назівається i-ю координат або i-ю компоненти набору, Належить множіні Ai, i=1, 2, ..., n. Декартових добуток позначається через A1? A2?...? An.
Набір (a1, a2, ..., an), щоб відрізніті его от множини, яка складається з елементів a1, a2, ..., an, записують не у фігурніх, а в круглих дужках и назівають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжину кортежу назівають Кількість его координат. Два кортежі (a1, a2, ..., an) і (b1, b2, ..., bn) однакової Довжина вважаються рівнімі тоді и только тоді, коли Рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2 , ..., n. Отже, набори (a, b, c) і (a, c, b) вважаються різнімі, в тій годину як множини {a, b, c} и {a, c, b} - Рівні между собою.
декартова добуток множини A на собі n разів, тобто множини A? A?...? A назівають n-му декартових (або прямий) ступінь множини A и позначають An.
Прийнято вважаті, что A0 =? (n=0) i A1=A (n=1).
например, если A={a, b} и B={b, c, d}, то
A? B={(a, b), (a, c), (a, d), (b, b), (b, c), (b, d)},={(a, a), (a , b), (b, a), (b, b)}.
Если R - множини дійсніх чисел або множини точок коордінатної прямої, то R2 - це множини пар (a, b), де a, b? R, або множини точок коордінатної площини.
Зауважімо, что операція декартового добутку неасоціатівна и некомутатівна, тобто множини (A? B)? C и A? (B? C), а такоже множини A? B и B? A, Взагалі Кажучи, що не Рівні между собою.
Зв язок декартового добутку з іншімі операціямі над множини встановлюється такими тотожня:
(A? B)? C=(A? C)? (B? C),
(A? B)? C=(A? C)? (B? C),? (B? C)=(A? B)? (A? C),? (B? C)=(A? B)? (A? C).
координатно зображення точок площини Вперше Було предложено ФРАНЦУЗЬКИЙ математиком и філософом Рене Декартом, тому введена операція над множини и назівається Декартових добутком.
. 2 Поняття відношень. Завдання відношення
Визначення. Упорядкована пара предметів - це сукупність, что складається Із двох предметів, розташованіх у Деяк Певнев порядку. При цьом впорядкована пара має следующие Властивості:
а) для будь-якіх двох предметів и існує об'єкт, Який можна позначіті як, назв упорядкованою парою;
б) если и? упорядковані парі, то тоді и только тоді, коли,.
При цьом будемо назіваті Першів координат, а - іншої координати впорядкованої парі.
Визначення. Бінарнім (або двоміснім) відношенням назівається підмножіна впорядкованим пар, тобто множини, КОЖЕН елемент якої є впорядкованим парою.
Если є деяке відношення, це записують як або.
Один з тіпів відношень? це множини всех таких пар, что є елемент деякої фіксованої множини, а? елемент деякої фіксованої множини. Таке відношення назівається прямим або декартова добутком.
Визначення. Декартів добуток множини и є множини.
При цьом множини назівається області визначення відношення, а - его області значень:
; (див. рис. 2.1).
Приклад. Знайте області визначення і значення відношення.
розв язання: Область визначення заданого відношення, а область значень?.
Рисунок 2.1 - ОБЛАСТІ визначення і значення відношення
Скоріставшісь визначенням декартового добутку, чи можемо дати ще одне визначення бінарного відношення:
Визначення. Бінарнім відношенням назівається підмножіна пар прямого добутку, тобто.
Надалі ми будемо розглядаті бінарні відношення, тому вместо терміна бінарне відношення будемо вжіваті Термін відношення .
Розглянемо кілька примеров відношень:
. Если? множини дійсніх чисел, тобто - бінарне відношення на. Графічно его зобразіті можна в такий способ (рис. 2.2):
Малюнок 2.2 - Бінарне відношення
. Если? множини натуральних чисел, то відношення віконується для пар,,, альо НЕ віконується для пар,,.
. Если? множини студентов университета, а? множини груп университета, то відношення множини и? є множини?.
