1 В 1, KМ і НД 1, для яких вектори є напрямними.
Завдання №6
У кубі, ребро якого дорівнює 6, знайдіть:
а) відстань від вершини до площини
б) кут між діагоналлю грані і площиною
Рішення:
а) Нехай відрізок - перпендикуляр з вершини на Тоді =. Знайдемо довжину відрізка.
За правилом трикутника маємо:
Позначимо: =, a в площині введемо базис де і запишемо розкладання вектора по векторах цього базису у вигляді:
=
Так як (за визначенням прямій, перпендикулярній площині), значить,
Коефіцієнти x і y в розкладанні вектора знайдемо, користуючись умовою:, яке рівносильне системі рівнянь
(
перш ніж вирішувати цю систему рівнянь, знайдемо скалярні добутки векторів:.
Так як трикутники - правильні і рівні, то довжини їх сторін рівні. Тоді:
Повернемося до розв'язання системи рівнянь (.
Враховуючи співвідношення (і властивості скалярного добутку векторів, отримуємо:
Таким чином,
б) Позначимо Так як ортогональна проекція на
Використовуючи співвідношення (**) і (***) і те, що вектор при має вигляд
Відповідь: а)
Завдання №7.
Знайдіть відстань між перехресними діагоналями АВ 1 і НД 1 суміжних граней АА 1 В 1 В і ВВ 1 С 1 С куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, якщо ребро цього куба одно 12.
Рішення:
Введемо вектори: Трійку некомпланарних векторів приймемо як базису і розкладемо вектори за векторами цього базису. Маємо: по векторому цього. Маємо:
Нехай відрізок MH - загальний перпендикуляр прямих AB 1 і BC 1 (. Тоді довжина відрізка дорівнює відстані між цими прямими:
Так як точка H лежить на діагоналі колінеарні, тому існує таке число x, що.
Аналогічно, в силу коллінеарності векторів. За правилом ламаної знаходимо:
Значення x і y знайдемо з умови:
Враховуючи, що базисні вектори попарно взаємно перпендикулярні і довжина кожного з них дорівнює 12, маємо:
Отримуємо:
Таким чином, система векторних нерівностей (1) рівносильна системі рівнянь
Тоді
Значить,
Відповідь:
Завдання №8
У трикутній піраміді РАВС всі плоскі кути при вершині Р прямі. Знайдіть площу сфери, описаної близько цієї піраміди, якщо РА=2, РВ=3, РС=4.
Рішення: Нехай точка О - центр сфери, описаної близько тетраедра РАВС, R - радіус цієї сфери. Тоді ОА=ОВ=ОС=ОР=R.
Введемо некомпланарних вектори і приймемо їх в якості базисних в просторі. Тоді при цьому Знайдемо коефіцієнти х, у і z в цьому розкладанні вектора
За правилом трикутника маємо:
звідки
З рівностей ОА=ОВ=ОС=ОР (як радіуси сфери, описаної близько тетраедра РАВС) випливає, що значить,
Тоді отримуємо:
Зауважимо, що так як базисні вектори попарно перпендикулярні і довжини їх дорівнюють відповідно 2, 3 і 4, то
(*
Замінюючи виразом в останній системі рівнянь і враховуючи (*), отримуємо:
Тоді
Відповідь: 29?.
Завдання №9.
У правильній трикутній призмі ABCA 1 B 1 C 1 всі ребра якої рівні 1, знайдіть косинус кута між прямими AD 1 і CE 1, де D 1 і E 1 - відповідно середини ребер A 1 C 1 і B 1 C 1.
Рішення:
Введемо систему координат, тоді:
) Координати точок задають прямі, зазначені в умові задачі
) Знайдемо координати векторів:
) Знайдемо косинус кута між векторами
Відповідь: 0,7.
Завдання №10.
У правильної чотирикутної піраміді SABCD з вершиною S висота дорівнює діагоналі підстави. Точка F лежить на середині ребра SA. Знайдіть квадрат тангенса між прямими SD і BF.
