ustify"> Метод головного критерію зводиться до оптимізації по одному обраному критерію, за умови, що інші критерії не більше (або не менше) прийнятних значень.
Метод узагальненого критерію полягає в згортку набору критеріїв у числову функцію, що і буде функцією корисності.
Види згорток:
) адитивна згортка: f =? 1 K 1 + ... +? n K n;
) мультиплікативна згортка: f=exp (? 1 ln (K 1) + ... +? n ln (K n))== 11. nnKK ?? ;
) наведена згортка: f=min (K i /? i) по всіх i=1 ... n (або f=max (K i /? i) по всіх i=1 ... n).
Аксіоматичні методи побудови функції корисності - це формальні методи, засновані на тому, що формулюються спеціальні припущення (аксіоми) про властивості переваги, виконання яких гарантує існування функції корисності конкретного виду.
Зазвичай, при використанні таких методів функцію корисності будують в аддитивном вигляді:
=? 1 f 1 + ... +? n f n (*)
як суму функцій корисності за кожним критерієм з деякими ваговими коефіцієнтами? 1, ... ,? n.
Нехай K I? K={K 1, ..., K n} - підмножина множини критеріїв, тобто група критеріїв з номерами з безлічі I={i 1, ..., im}. ? ={1, ..., n} I. Тоді K?- Всі інші критерії, а векторна оцінка x представляється у вигляді (x I, x?).
Кажуть, що критерії KI не залежить за перевагою від критеріїв K? , Якщо переваги для будь-яких двох оцінок x=(x I, x?) І x=(x I, x?), Що містять однакові компоненти з номерами з?, Не залежать від самих значень цих компонент.
Критерії K 1, ..., K n такі, що будь-який набір KI з них не залежить за перевагою від інших критеріїв K? , Називаються взаємно незалежними за перевагою.
Теорема Дебре (критерій існування адитивної функції корисності): функція корисності може бути задана в аддитивном вигляді (*) тоді і тільки тоді, коли критерії K 1, ..., K n взаємно незалежні за перевагою (при n ? 3).
При n=2, крім взаємної незалежності критеріїв, потрібне виконання умови відповідних заміщень (при n? 3 воно виконується автоматично):
? x 1, x 2, y 1, y 2, a, b, c, d якщо (x 1, x 2)? (x 1 -a, x 2 + b) і (x 1, y 2)? (x 1 -a, y 2 + c), то (y 1, x 2)? (y 1 -d, x 2 + b) і (y 1, y 2)? (y 1 -d, y 2 + c).
Т.е., якщо збільшення на b і c різних значень x 2 і y 2 критерію K 2 при деякому опорному значенні x 1 критерію K 1 компенсується одним і тим же зменшенням цього значення x 1 критерію K 1, то такі ж збільшення b і c тих же значень x 2 і y 2 критерію K 2 зберігаються і при будь-якому іншому опорному значенні y 1 критерію K 1.
Як здійснюється перевірка взаємної незалежності критеріїв за перевагою?
Безпосередньо за визначенням перевірити незалежність критеріїв важко, т.к. навіть при невеликих n виникає велике число варіантів, які треба перевірити.
Затвердження (Леонтьєва-Гормана): якщо будь-яка пара критеріїв {K i, K j} не залежить за перевагою від інших (n - 2) критеріїв, то всі критерії K 1, ..., K n взаємно незалежні по перевазі.
Таким чином, перевірка зводиться до встановлення незалежності тільки всіх пар критеріїв від всіх інших критеріїв.
Нехай необхідно перевірити на незалежність за перевагою набори KI і K?. Беремо набір x? + Найкращих (явно хороших) значень K? і підбираємо (запитуємо у ОПР) два різних набору x I і x I таких, що (x I, x? +) ~ (x I, x? +). Потім беремо набір x?- Найгірших оцінок і запитуємо у ОПР, чи збереглося байдужість (x I, x? -) ~ (X I, x? -)? Якщо ні, то критерії KI залежать від критеріїв K?. Якщо так, повторюємо процедуру ще для деяких інших x I і x I. Якщо весь час байдужість залишається, задаємо питання в загальному вигляді (чи збережеться байдужість при будь-яких наборах). Якщо так, то набори критеріїв KI і K? незалежні.
Методи побудови адитивної функції корисності
Кроковий метод спільного шкалювання.
Нехай n=2 і умова відповідних зміщений виконано.
(x 1, x 2)=f 1 (x 1) + f 2 (x 2)? (x 1, x 2)? X.
Позначимо діапазони зміни оцінок x 1 і x 2: x 1 *? x 1? x 1 *, x 2 *? x 2? x 2 *.
Вважаємо f (x 1 *, x 2 *)=f 1 (x 1 *)=f 2 (x 2 *)=0 (початок відліку).
Беремо будь-яке значення x 1 січня gt; x 1 * досить близьке до нього. Встановлюємо f 1 (x 1 1)=1 (одВНДЦ виміру).
Від ЛПР вимагаємо вказати x 2 1 таке, що (x 1 1, x 2 *) ~ (x 1 *, x 2 1), для цього значення також f 1 ...
