завдань покращує закріплення пройденого матеріалу; по-третє, воно сприяє розвитку його математичної і логічного культури, а також розвитку інтересу до математики, оскільки відкриває перед ним нові методи і можливості для самостійного пошуку.
Поняття параметра є математичним поняттям, яке часто використовується в шкільному курсі математики і в суміжних дисциплінах.
клас - при вивченні лінійної функції і лінійного рівняння з однією змінною.
клас - при вивченні квадратних рівнянь.
Загальноосвітня програма шкільного курсу математики не передбачає вирішення завдань з параметрами, а на вступних до замінах до вузів і на ЄДІ з математики завдання з параметрами присутні, вирішення яких викликає великі труднощі учащіхся.Задачі з параметрами володіють діагностичної та прогностичної цінністю, які дозволяють перевірити знання основних розділів шкільного курсу математики, рівень логічного мислення, початкові навички дослідницької діяльності.
При вирішенні рівняння (нерівності) можна користуватися таким алгоритмом.
Алгоритм рішення рівняння або нерівності з параметром
1. Визначають обмеження, що накладаються на значення невідомого і параметра, що випливають з того, що функції і арифметичні операції в або мають сенс.
. Визначають формальні рішення, записувані без врахування обмежень. Якщо при вирішенні виникають контрольні значення параметра, то їх наносять на числову вісь. Ці значення розбивають область допустимих значень параметра на підмножини. На кожному з підмножин вирішують задане рівняння ..
. Виключають ті значення параметра, при яких формальні рішення не задовольняють отриманим обмеженням.
. На числову вісь. додають значення параметра, знайдені в п.3. Для кожного з проміжків на осі. записують всі отримані рішення в залежності від значень параметра. (У разі досить простих рівнянь п.4 можна опустити).
. Виписують відповідь, тобто записують рішення в залежності від значень параметра.
Наявність параметра в задачі припускає спеціальну форму запису відповіді, що дозволяє встановити, якою є відповідь для будь-якого допустимого значення параметра. Неприпустимі значення також вказуються у відповіді, і вважається, що при цих значеннях параметра завдання не має рішення. При запису відповіді зазвичай значення параметра перераховуються в порядку зростання від ?? до + ?, але іноді для компактності відповіді об'єднують проміжки для параметра, на яких формули рішення збігаються.
У разі розгалуження рішення зручно використовувати числову пряму., на яку наносяться контрольні значення параметра, а на проміжках, на які ці значення розбили пряму, вказуються відповіді завдання. Даний прийом дозволяє надалі не втратити знайдені відповіді і чітко вказати значення параметра, яким вони відповідають.
Продемонструємо сказане вище на прикладі.
Приклад 10: Вирішити нерівність.
Рішення:
Контрольні значення параметра виходять з умови, так як при нерівність не містить змінної x.
Нанесемо на числову вісь Oa контрольні значення. Вони розбивають вісь Oa на проміжки:
) a lt; 0; 2) 0 lt; a lt; 2; 3) a gt; 2
На кожному з цих проміжків вирішимо таку нерівність. Значення a=0 і. a=2 вимагають окремого розгляду.
Якщо a lt; 0, то a (a - 2) gt; 0. Розділивши обидві частини нерівності на множник a (a? 2)? 0, отримаємо x gt;.
Якщо 2 gt; a gt; 0, a (a? 2) lt; 0 і, отже, x lt;.
Якщо a gt; 2, a (a? 2) gt; 0 і x gt;/
Нанесемо одержувані в ході вирішення відповіді на відповідні проміжки числової осі Oa і запишемо відповідь.
Проміжок, до якого відноситься відповідне рішення, позначається на малюнку дугою. На її кінці ставиться стрілочка в тому випадку, якщо це рішення не відноситься до крайньої точки проміжку.
Рис. 3
Відповідь: Якщо a lt; 0, то x gt ;; якщо 0 lt; a lt; 2, то x lt ;; якщо a gt; 2, то x gt ;; якщо a=0 і a=2, то рішень немає.
Головна особливість завдань з параметрами - розгалуження рішення залежно від значень параметрів. Іншими словами, процес вирішення здійснюється класифікацій приватних рівнянь (нерівностей) за типами з подальшим пошуком рішень кожного типу.
Одночасно рішення нескінченної сукупності приватних рівнянь і нерівностей з урахуванням вимоги равносильности перетворень можливе лише при розвитку достатнього рівня логічного мислення. З іншого боку, формування методів вирішення уравнений і нерівностей з параметрами забезпечує значний процес у розвитку математичної культури учнів. Розвиваючий характер рівнянь і нерівностей з параметрами визначається їх здатністю реалізовувати багато видів розумової діяльності учнів:
. Вироблення певних алгоритмів мислення.
. Уміння визначити на...
