ти в себе з поворотом на 2?/3 (Рис.17).
Рис. 17
Процес побудови цих поверхонь в деякому розумінні аналогічний побудові прямого гелікоїда. «Потрійний лист Мебіуса» гомеоморфен поверхні з самоперетинів, показаної на Рис. 18.
Мінімальна плівка, показана на Рис. 17, на відміну від попередніх прикладів, має багато особливих точок, сингулярностей, тобто точок, ніяка відкрита околиця яких не гомеоморфна диску. Околиця кожної такої точки має структуру, показану на Рис. 19, тобто трьох половинки диска склеєні за загальним діаметру. Легко здогадатися, що будь особлива точка двовимірної мінімальної плівки, яка є некомпактності поверхнею без кордону, має структуру, показану на Рис. 19.
Рис. 18
Рис. 19
Справді, якщо в особливій точці сходяться дві половинки диска, то тоді околиця точки гомеоморфна диску. Якщо в особливій точці сходяться чотирьох половинки диска (див. Рис. 20), то існує деформація околиці, зменшує площу. Сумарна довжина відрізків АВ, АС, АD, AR більше сумарної довжини відрізків А В, A R, A'A laquo ;, A C, A" D (розпад чотирикратної особливості на триразові особливості). Для мінімальних плівок з кордоном це твердження вже невірно. Приклад наведено на Рис. 21. Тут чотирикратні точки заповнюють відрізок АВ.
Цікаво, що на цей же контур, але виготовлений з дроту кінцевої товщини, можна натягнути ще одну мильну плівку, особливі точки якої, розташовані вздовж відрізка АВ, (Мал. 22), є вже триразовими.
Рис. 20
Рис. 21 Рис. 22
З мінімальними поверхнями тісно пов'язані так звані гармонійні поверхні. Нехай V2 задано так: r=r (u, v), де u, v - криволінійні координати на V2.
Визначення. Радіус вектор (u, v) називається гармонійна щодо координат u, v, якщо, тобто ?=0, де?- Оператор Лапласа в координатах u, v.
Радіус-вектор (u, v), гармонійний в координатах (u, v), не зобов'язаний бути гармонійним в інших координатах u laquo ;, v .
Визначення. Поверхня називається гармонійної, якщо вона може бути задана за допомогою деякого гармонійного радіус-вектора (u, v) у деяких криволінійних координатах u, v.
Будемо говорити, що радіус-вектора (u, v) мінімальний, якщо середня кривизна його тотожно дорівнює нулю. Так як функція H=- скаляр і, зокрема, не змінюється при регулярних замінах координат на поверхні, то якщо радіус-вектор є мінімальним щодо однієї системи координат, він буде мінімальним і відносно будь-якої іншої регулярної системи координат. Для гармонійних поверхонь це вже не так, а тому зазвичай говорять про гармонійних відображеннях: D (u, v) R3 (x, y, z), де D (u, v) - відображення, визначальне поверхню. Відображення, гармонійне в одних координатах, вже не буде, взагалі кажучи, гармонійним в інших координатах.
Приклад гармонійної поверхні: задамо (u, v) формулою: (u, v)=(x, y, x2 - y2), де x, y, z - декартові координати в R3, тобто поверхню V2 задається графіком z=x2 - y2, віднесеним до декартовій системі координат. Ясно, що, тобто поверхню z=x2-y2 - гармонійна. У той же час вона не мінімальна: Н=0 тільки в точці (0,0), а в інших точках Н? 0.
Криволінійні координати (u, v) на поверхні називається комформность, якщо в них метрика Edu2 + 2Fdudv + Gdv2, індукована на V2 об'емляющей евклідової метрикою, є діагональної, т.е.E=G, F=0
Як пов'язані гармонійні і мінімальні вектори? Приклад гармонійного, але не мінімального вектора наведений вище. Чи вірно зворотне, тобто будь-який чи мінімальний вектор - гармонійний? Це теж невірно. Але тим не менш, мінімальний вектор, записаний в комформность координатах, є гармонійним.
Будь-яка мінімальна плівка може бути задана речовинно-аналітичним радіус-вектором, а отже, в околиці будь-якої точки на мінімальній поверхні завжди можна ввести комфорного координати.
. Завдання Плато.
Питання про рівновазі тонкої мильної плівки призводить до «завданню Плато», сформульованої в 1866 р .: через замкнуту лінію r провести гладку мінімальну поверхню f, що має r своїм кордоном. Ріман і Вейерштрасс помітили, що це завдання можна поставити порівняно просто, якщо r є багатокутником, складеним з прямокутних відрізків. Припустимо, що сферичне відображення f * поверхні f «однолістной». Тоді f * знову є багатокутником на k. За допомогою аналітичної функції
область f * на сфері k конформно відображається на область f ** комплексної p0-площині. Але ця область знову є прямолінійним багатокутником. Прямолінійні сторони r є асимптотичними лініями поверхні f, а їх образи в p0-площині, зображуються прямими лініями u=const, v=const. Назад, якщо відомо конформне відображенняp0=p0 (t) багатокутника f ** p0-площині на багатокутник f * t-сфери k, то зі співвідношення визначиться функція g (t), а потім буде побудована і наша мінімальна поверхню f.
Отже в цьому випадку завданн...
