ражаються формулою D = (q/2) 2 + (p/3) 3 . причому для кожного з трьох значення першого кореня 3 в€љ О± відповідні значення другого кореня 3 в€љ ОІ потрібно брати так, щоб була виконана умова О±ОІ =-р/3. Отримана формула називається формулою Кардано (її можна записати в більш компактному вигляді у = 3 в€љ О± + 3 в€љ ОІ, де О± =-q/2 + в€љ q 2 /4 + p 3 /27; ОІ = -q/2- в€љ q 2 /4 + p 3 /27. Підставивши в неї замість р і q їх вираження через a, b, c і віднімаючи а/3, отримаємо формулу для рівняння (11).
2. Метод Феррарі для рівняння 4-ої ступеня. br/>
Розглянемо наведене рівняння 4-ої ступеня x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (13). Зробивши заміну змінної х = у-а/4, одержимо рівняння у 4 + ру 2 + qy + r = 0 (14) c коефіцієнтами p, q, r, залежними від a, b, c, d. Перетворимо це рівняння до виду (y 2 + p/2) 2 + qy + (rp 2 /4) = 0, а потім, ввівши довільне поки число О±, представимо його ліву частину в рівносильній формі (y 2 + p/2 + О±) 2 - [2О± (y 2 + p/2) + О± 2 -qy + p 2 /4-r] = 0 (15)
Виберемо тепер число О± так, щоб вираз у квадратних дужках 2О±y 2 -qy + (О±p + О± 2 + p 2 /4-r) стало повним (точним) квадратом відносно у. Для цього потрібно, щоб його дискримінант дорівнював нулю, тобто щоб q 2 -8О± (О±p + О± 2 + p 2 /4-r) = 0, або 8О± 3 +8 pО± 2 +8 О± (p 2 /4-r)-q 2 = 0. Таким чином, для знаходження О± виходить рівняння 3-го ступеня, та задача зводиться до попередньої. Якщо в якості В«О±В» взяти один з коренів цього рівняння, то ліва частина рівняння (15) буде різницею квадратів і тому може бути розкладена в добуток двох многочленів 2-го ступеня щодо В«уВ».
V . Додаткові задачі та вправи, пов'язані з використанням комплексних чисел.
1. Обчислити: ii 2 i 3 ... i 10 =? p> Рішення:
2. Який геометричний сенс виразів: а) | z |, б) Argz; в) | z 1 -z 2 |, г) Arg (z 1 /z 2 )?
Відповідь: а) відстань від початку координат до точки, яка зображує комплексне число z;
б) кут, на який потрібно повернути дійсну вісь до збігу з напрямком вектора 0М, зображує комплексне число z;
в) | z 1 -z 2 | - відстань між точками z 1 і z 2 , зображують комплексні числа z 1 і z 2 ;
г) Arg (z 1 /z 2 ) - Кут між зображують векторами 0z 1 і 0z 2 .
3. Довести, що cos3П† = cos 3 П†-3sin 2 ...
