sup> = 1, а одна з пар є пара В± (1, 0), є решітка О› з базисом
(1, 0), (1/2, в€љ 3/4).
Вона містить вершини правильного шестикутника
В± (1, 0), В± (1/2, в€љ 3/4), В± (-1/2, в€љ 3/4),
лежать на колі Х 1 2 + Х 2 2 = 1, але не містить жодної точки (Крім (0, 0)) в колі Х 1 2 + Х 2 2 <1. Таким чином, ми показали, що якщо Дђ має критичну грати, то О” (Дђ) = d (О› ) = (3/4) 1/2 . Мінковський показав, що критичні грати існують для досить широкого класу областей Г‚, показавши, грубо кажучи, що будь-яку Г‚-допустиму решітку О› можна поступово деформувати до тих пір, поки вона не стане критичною.
"Неоднорідна завдання "
Іншим загальним типом проблеми є наступна типова В«неоднорідна завданняВ». Нехай f (х 1 , ..., x n ) - деяка вещественнозначная функція речових аргументів х 1 ,. . ., Х n . Потрібен підібрати постійне число k з наступним властивість: якщо Оѕ 1 , ..., Оѕ n - будь-які дійсні числа, то знайдуться такі цілі числа u 1 , ..., u n , що
в”‚ f (Оѕ 1 - u 1 , ..., Оѕ n - u n ) в”‚ ≤ k. p> Подібні питання природно виникають, наприклад, в теорії алгебраїчних чисел. І на цей раз мається проста геометрична інтерпретація. Для наочності покладемо n = 2. Нехай Г‚ - безліч таких точок (х 1 , х 2 ) двовимірної евклідовій площині, що
│ f (x 1 , ..., x n ) │ ≤ k.
Нехай u 1 , u 2 - будь-які цілі числа; позначимо через Г‚ (u 1 , u 2 ) область, отриману з Г‚ паралельним перенесенням на вектор (u 1 , u 2 ); іншими словами, Г‚ (u 1 , u 2 ) є безліч таких точок х 1 , х 2 , що
в”‚ f (х 1 - u 1 , х 2 - u 2 ) в”‚ ≤ k.
Неоднорідна проблема полягає у виборі k таким чином, щоб області Г‚ (u 1 , u 2 ) покривали всю площину. Бажано вибрати k, а значить і Г‚, найменшим з усіх можливих (але так, щоб властивість покривати всю площину збереглося). Тут ми маємо протилежність постановці однорідної задачі, наведеної вище, де мета полягала в тому, щоб зробити області найбільшими, але все ще не пересічними одна з інший.
Список літератури.
1. Касселс, Дж. В. С. Геометрія чисел - М., Мир, 1965р. p> 2. Мінковський Г. Геометрія чисел - Лейпциг, 1911р. (Перевидання 1996р.) p> 3. Марков А. А. Про бінарних квадратичних формах позитивного визначника - СПб., 1948р. p> 4. Чеботарьов М. Г. Нотатки з алгебри і теорії чисел - УЧ Зап. Каз. Унів-та, 1934р. (Перевидання 1994р.) p> 5. Чеботарьов М. Г. Доказ теореми Мінковського про не...
