> 3 ( x ) = x 3 + x 2 - x - 1 = 0 Гћ x 1 = 1, т.к . P 3 (1) = 0.
Розділимо многочлен P 3 ( x ) на ( x - 1):
x 3 + x 2 - x -1 x - 1 x 3 - x 2 x 2 + 2 x +12 x 2 - x 2 x 2-2 xx -1 x -10
Оригінал рівняння
P 3 ( x ) = x 3 + x 2 - x - 1 = 0 Г› ( x - 1) ( x 2 + 2 x + 1) = 0 Г› ( x - 1) ( x + 1) 2 = 0
Гћ x 1 = 1 - простий корінь, < i align = "justify"> x 2 = -1 - дворазовий корінь.
Властивість 5 (про комплексні коренях алгебраїчного рівняння з дійсними коефіцієнтами)
Якщо алгебраїчне рівняння з дійсними коефіцієнтами має комплексні корені, то ці нулі завжди парні комплексно зв'язані, тобто якщо x 0 = a + bi є коренем рівняння Pn ( x ) = 0, то число також є коренем цього рівняння.
Доказ
w потрібно використовувати визначення і наступні легко перевіряються властивості операції комплексного сполучення:
якщо, то;
;;,;
якщо - дійсне число, то.
Так як є коренем рівняння, то
, де, - дійсні числа.
Візьмемо створення пари від обох частин останньої рівності і використовуємо перераховані властивості операції сполучення:
, тобто число також задовольняє рівнянню, отже, є його коренем, ч.т.д. v
Приклади
1) - парні комплексно зв'язані коріння;
).
Властивість 6 (про розкладання многочлена з дійсними коефіцієнтами на лінійні та квадратичні множники)
Будь многочлен з дійсними коефіцієнтами розкладається на твір лінійних і квадратичних функцій з дійсними коефіцієнтами.
Доказ
w Нехай x 0 = a + bi - нуль многочлена Pn ( x ). Якщо всі коефіцієнти цього многочлена є дійсними числами, то теж є його нулем (по властивості 5). p> Обчислимо твір двучленного:
В В
комплексний число многочлен рівняння
Отримали ( x - a < span align = "justify">) 2 + b 2 - квадратний тричлен з дійсними коефіцієнтами.
Таким чином, будь-яка пара двучленного з комплексно сполученими корінням у формулі (6) приводить до квадратному тричленну з дійсними коефіцієнтами. v
Приклади
1) P 3 ( x ) = x ...
