не і наближене сіточні рішення, а через - нормоване векторний простір, якому належать величини і . Норми елементів v, введені в цих просторах, будемо позначати і відповідно. Норми у векторному просторі можна вводити різні, і від їхнього вибору залежатимуть властивості різницевої схеми, що описуються нижче. Скрізь далі норма в просторі буде вибиратися за формулами або . Норму в просторі ми будемо вказувати особливо для кожної розглянутої задачі.
Похибкою наближеного сіткового рішення називається величина .
Для того щоб можна було отримати наближене рішення із заданою точністю, необхідно, щоб похибка наближеного рішення прагнула до нуля при . Це властивість отримало назву збіжності. Дамо його розгорнуте визначення.
Нехай існує позитивне дійсне число H, таке, що існує єдине рішення різницевої крайової задачі . Якщо
, (1.3.1)
то кажуть, що рішення різницевої крайової задачі сходиться до вирішення диференціальної крайової задачі при .
Якщо існують позитивні постійні C і p, такі, що виконується нерівність
, (1.3.2)
то говорять, що наближене рішення сходиться до точного при з p-м порядком щодо h. З умови (1.3.1), очевидно, треба рівність (1.3.2).
Різниця
(1.3.3)
називається нев'язкої різницевої схеми на точному вирішенні диференціальної крайової задачі. Нагадаємо, що і належать до нормованого векторному простору . Величини і , очевидно, також будуть належати .
Величиною нев'язності називається її норма в цьому просторі:
. (1.3.4)
Нехай існує позитивне дійсне число H, таке, що існує єдине рішення різницевої крайової задачі . ...
