an> < span align = "justify">. З цієї причини побудована різницева схема отримала назву явною різницевої схеми для рівняння теплопровідності. І інші різницеві схеми, які володіють цією властивістю, отримали назву явних схем.
Якщо замість формули (1.1.4) для апроксимації приватної похідною використовувати аналогічну формулу (1.1.5), то в результаті замість системи рівнянь (10.1.23) вийде система:
(1.2.16)
Різницева схема (1.2.16), (1.2.12) - (1.2.14) отримала назву неявній різницевої схеми для рівняння теплопровідності, оскільки для її вирішення не вдалося отримати явною рекуррентной формули, типу ( 1.2.15).
Похибка заміни приватних похідних різницевими відносинами прагне до нуля при h і . Тому можна очікувати, що і похибка наближеного рішення також буде прагнути до нуля при h і , і за рахунок зменшення кроків сітки h і можна отримувати наближені рішення з будь-якої заданої точністю.
Потрібен записати її у вигляді операторного рівняння (1.2.2) і з'ясувати, що являють собою основні об'єкти (, , і ) операторної запису. Сітка
В
Густоту сітки регулюють два параметри: М (або hрh) і . Один з них можна зробити основним, наприклад, h, а другий параметр зробити залежним від нього, ввівши функцію , таку, що при . Тоді густота сітки буде визначатися тільки параметром h.
Наближене рішення зручно представити у вигляді вектора з компонентами: . Точне сіткове рішення представляється аналогічним вектором:
В
і також представимо у вигляді векторів:
В В
Кількість компонент цих векторів дорівнює .
Введемо цілу постійну і зауважимо, що величини , , і належать векторному простору . Розглянутий приклад показав, що практично будь-яку диференціальну крайову задачу можна представити у вигляді (1.2.1). При цьому Lu і f будуть являти собою вектор-функції.
Норми. Похибка наближеного рішення. Збіжність. Порядок збіжності
Позначимо через нормоване векторний простір, якому належать точ...
