Якщо
, (1.3.5)
то говорять, що різницева схема апроксимує задачу на її точному сітковому вирішенні . Якщо, понад те, знайдуться речовий позитивне число і позитивне число p, такі, що буде виконано нерівність
, (1.3.6)
то говорять, що різницева схема апроксимує задачу на її точному сітковому вирішенні з порядком p щодо h (або з порядком ).
Стійкість
Нехай існує позитивне дійсне число H, таке, що існує єдине рішення різницевої крайової задачі . Ця різницева схема називається стійкою на парі просторів , якщо існують позитивні постійні і , такі, що і , задовольняє умові , різницева крайова задача
(1.4.1)
має єдине рішення , причому
(1.4.2)
Стійкість різницевої схеми означає, що малому обуренню правій частині різницевої схеми відповідає мале обурення рішення різницевої крайової задачі. Це внутрішня властивість різницевих схем, що не має ніякого відношення до вихідної диференціальної крайової задачі. Тому досліджувати стійкість дещо легше, ніж дослідити збіжність. Якщо оператор є лінійним ( ), то визначення стійкості можна переформулювати.
Дамо визначення стійкості для лінійних різницевих схем.
Різницева схема з лінійним оператором називається стійкою на парі просторів , якщо існує позитивна постійна , така, що і різницева крайова задача
(1.4.3)
має єдине рішення , причому
. (1.4.4)
Поняття апроксимації та стійкості пов'язані з поняттям збіжності і дозволяють полегшити її дослідження. Цей зв'язок встановлюється наступною теоремою. p align="justify"> Теорема 1
Якщо різницева крайова зада...
