и АВС і є подібними і однаково орієнтованими. Йому можна надати симетричний вигляд:
(36)
або
. (37)
ОПР. Трикутники АВС і подібні і протилежно орієнтовані (подоба другого роду), і. Остання рівність дає:
Два рівності
і
еквівалентні одному
або
(38)
де - комплексне число,-коефіцієнт подібності.
Співвідношення (38) є необхідний і достатній ознака того, що трикутники АВС і подібні і орієнтовані протилежно. Його можна записати в симетричній формі:
(39)
або ж так:
(40)
Якщо, то трикутники АВС і будуть рівні (конгруентний). p> Тоді співвідношення (35) і (38) стають ознаками рівності трикутників відповідно однаковою і протилежної орієнтації. p> Розглянуті ознаки подібності трикутників дозволяють обгрунтувати простий спосіб побудову твору та приватного двох комплексних чисел. Нехай дано точки з комплексними координатами і потрібно побудувати точку М з координатою z = ab. Тоді, очевидно,. Це рівність говорить про те, що трикутники ОЕА і ОВМ подібні і однаково орієнтовані. Звідси і випливає спосіб побудови точки М, відповідної твору ab (рис. 10). p> Зворотно: якщо дано точки М і А відповідно з координатами ab і a, то точка В, відповідна приватному цих чисел будується на підставі тих, ж подібних трикутників. p> Слід звернути увагу на один важливий окремий випадок. Якщо | а | = 1, то точка М буде чином точки В при повороті біля нульової точки на кут. Якщо зажадати, щоб орієнтований трикутник АВС був подібний орієнтованому трикутнику BCA, то трикутник АВС необхідно буде правильним. Тому з умови (36) отримуємо необхідна і достатня умова того, щоб трикутник АВС був правильним
(41)
або
(42)
Введемо у вживання комплексне число є одним з коренів рівняння (Формула для знаходження коренів -) Інші два кореня якого рівні 1 і. За теоремою Вієта для кубічного рівняння маємо Це легко перевірити і безпосередньо. Тоді рівність (41) буде еквівалентно такому:
або після множення першого тричлена на:
. (43)
Отже, для того щоб трикутник АВС був правильним, необхідно і достатньо виконання хоча б одного з рівностей:
(44)
або ж
(45)
Виявляється, перше з цих рівностей відповідає тільки того випадку, коли трикутник АВС орієнтований позитивно, а друге виконується лише при негативній його орієнтації. Справді, так як множенню на відповідає поворот на, то при позитивній орієнтації трикутника (рис.11), звідки і тому
Аналогічно перевіряється виконання рівності (45) для негативно орієнтованого правильного трикутника АВС. Очевидно, одночасно рівності (44) і (45) виконуватися не можуть. p> Якщо правильний трикутник АВС вписаний в коло, то при його позитивної орієнтації і, а при негативній орієнтації і Тому кожна з умов (44) і (45) приймає вигляд:
(46)
Задача 1. Довести,...
