an align = "justify "> (t 2 ,? ( t < span align = "justify"> 2 )), була дорівнює інтегралу від будь-якого многочлена деякої (найвищої можливої) ступеня. Оскільки положення точок A 1 і A 2 визначають чотири координати, то цей многочлен може визначатися максимум чотирма коефіцієнтами, тобто є многочленом 3 - й ступеня
В
Легко встановити, що рівняння прямої що проходить через точки має вигляд:
В
де,. Таким чином, виникає наступна технічна завдання: вибрати t1і t2 так, щоб рівність
(36)
мало місце при будь-яких значеннях a 0 , a 1 , a 2 , a 3.
Для її вирішення обчислимо інтеграли в (36):
В
Підставимо в цю рівність і:
В
Перегруппіруем доданки в лівій частині рівності
В
Для того щоб останнє рівність виконалось при будь-яких значеннях a0, a1, a2, a3, необхідно і достатньо, щоб
В
Звідси випливає одне з двох рішень
) і 2)
відрізняються лише нумерацією значень t2, t2.
Отже, якщо взяти вузлами лінійної інтерполяції числа
, (37)
то інтеграл, обчислений за формулою
В
точно збігається з інтегралом від будь-якого многочлена 3 - й ступеня. Обчисливши інтеграл за вказаною формулою з урахуванням (37) одержимо:
В
Ця формула застосовувана до будь-який (интегрируемой) функції і називається квадратурної формулою Гаусса. Зрозуміло, для функції, що не є многочленом не старші 3 - й ступеня, ця формула дає лише наближені значення інтеграла, але інтуїтивно зрозуміло, що значення ближче до істинного, ніж те, яке дає формула трапецій, також виходить із інтегрування допоміжної лінійної функції замість вихідної .
Скориставшись формулою (35), можна для зручності використання записати формулу Гаусса стосовно до вихідного виду інтеграла:
(38)
Оцінку похибки обчислення інтеграла наведемо без виведення:
Зрозуміло, для підвищення точності обчислення інтеграла за методом Гауса відрізок [a; b] можна так само, як це робилося в попередніх методах, розділити на кілька (n) частин і застосовувати формулу (38) до кожного з них. Отримаємо практич...
