r/>
Поділимо це рівність на і перенесемо перші два члени в ліву частину. Отримаємо
В
У лівій частині вираз дорівнює.
Отже,
.
Нехай вибирається в околиці точки, і в цій околиці модуль обмежений знизу числом і модуль обмежений зверху числом. Тоді
.
Помноживши на, отримаємо
.
Тому, якщо, то. Для подальших наближень
, ...,.
Таким чином, в цьому припущенні має місце швидка збіжність наближень в корені. Такого роду збіжність, коли похибка наближення дорівнює по порядку квадрату похибки попереднього наближення, носить назву квадратичної збіжності. br/>В
Для поліномів всі проведені вище міркування мають силу не тільки для обчислення речових коренів поліномів з речовими коефіцієнтами, але і для комплексних коренів поліномів з комплексними коефіцієнтами.
Для дійсних функцій є ситуації, коли немає необхідності вибирати початкове наближення дуже близько до кореня. Нехай на інтервалі перша і друга похідні функції не змінюють знак, а значення на кінцях інтервалу мають протилежні знаки. У цих припущеннях функція має на інтервалі єдиний корінь. p> Припустимо, що і позитивні на інтервалі.
Це означає, що зростає і опуклість її графіка спрямована
вниз (рис.2). p> Візьмемо початкове наближення праворуч від кореня. Геометрично очевидно, що наступне наближення буде ближче до чим і залишається праворуч від. p> Підтвердимо це обчисленням:
.
У силу зростання укладаємо, що, але і за умовою. Далі,
,
В
бо, а позитивна на всьому інтервалі.
Обчислюючи далі послідовні наближення, ми отримаємо убуваючу послідовність, обмежену знизу числом. Вона сходиться і, як ми бачили вище, сходиться до кореня, який на проміжку тільки один, а саме. p> Легко бачити, що якщо і негативні на проміжку, то починати наближення теж слід праворуч від кореня рис.3
(рис.3). Якщо ж і зберігають на протилежні знаки, то наближення варто починати зліва (рис. 4, 5). br/>В
рис.4 рис.5
Література
1. Курош А.Г. Курс вищої алгебри/А.Г. Курош - Москва: Москва В«НаукаВ» - 1968. - С. 241-265
. Фадєєв Д.К. Лекції з алгебри/Д.К. Фадєєв - Москва: Москва В«НаукаВ» - 1984. - С. 214-241
. Александров І.О. Теорії функцій комплексного змінного/І.А. Александров - Томськ: Томський держ. універ. - 2002. - С. 221-224
4. Многочлен [Електронний ресурс]// Вікіпедія: вільна вікі. - Електрон. дан. - М., 2007. - (дата звернення 15.05.2011). br/>
