) - метричний простір з відстанню, А - підмножина Х. Завдання про наближення елемента безліччю А полягає у знаходженні величини
В
Величину часто називають відстанню від х до А.
Елемент, для якого =, називається екстремальним елементом або елементом найкращого наближення для х.
Нехай є деяка сукупність апроксимуючих множин А. Розглянемо величину
В
Найбільш поширені два класи апроксимуючих множин:
а) клас всіх лінійних різноманіть розмірності,
б) клас всіх точкових множин, число елементів у яких не перевершує.
Величину позначають через і називають N-поперечником за Колмогорова.
Визначення поперечників
Наближення класу функцій конкретним способом апроксимації не дає вирішення проблеми найкращого наближення класу функцій n-мірним апаратом наближення. Природно виникає завдання побудови для кожного класу функцій найкращого способу апроксимації. p> Нехай В - Банаховий простір, А і - дві множини в просторі В. Відхиленням елемента від безлічі називається величина
В
Відхиленням безлічі від безлічі називається величина
В
Дане визначення можна записати у вигляді
В
Нехай В - Банаховий простір,, - безліч-мірних лінійних підпросторів простору В. Нехай, тобто деякий-мірне лінійне підпростір простору В. Нехай, - базис підпростору. Тоді - точність апроксимації Х лінійними комбінаціями виду, де - речові або комплексні числа в залежності від виду простору В. Нижня грань чисел, коли пробігає всі множини-мірних лінійних підпросторів простору В і визначає поперечник Колмогорова
В
Визначення 1.1.
Нехай - безліч-мірних лінійних підпросторів простору В. Вираз
В
де останній inf береться по всіх підпросторів розмірності n, визначає n-поперечник Колмогорова.
Визначення 1.2.
Нехай. Вираз
В
де inf береться по всіх безперервним відображенням П:, визначає n-мірний поперечник Бабенко.
Визначення 1.3.
Урисоновскій поперечник визначається рівністю
,
де
В
Розмірність компакта Х, згідно з твердженням Урисона, визначається рівністю
В
Для всякого безлічі, що належить нормированному простору Е, виконується
В
Пізніше, в 1933 році П. С. Александрова були введені поперечники Александрова-Урисона і Александрова.
Визначення 1.4
поліедри називається об'єднання локально кінцевого сімейства опуклих багатогранників в n-вимірному просторі. Під опуклим багатогранником розуміється перетин кінцевого числа замкнутих півпросторів у разі, якщо це перетин обмежена, а локальна кінцівку сімейства означає, що кожна точка має околиця, пересекающуюся лише з кінцевим числом багатогранників. br/>
Визначення 1.5
Нехай Х - компакт. Нехай ...
