очності відновлення телефонного сигналу. Якщо ж прийняти f ? <6,8 кГц, то точність відновлення телефонного сигналу помітно падає.
Дискретизація безперервної функції
При дискретизації неперервної функції виникає питання, як вибрати інтервал дискретизації, щоб не відбувалася втрата інформації, тобто щоб по дискретизованного версії можна було б відновити вихідну безперервну функцію. Для функцій, що мають фур'є-образ, відмінний від нуля тільки на обмеженому інтервалі, відповідь на це питання дає теорема Котельникова, звана також теоремою відліків. p align="justify"> Теорема Котельникова. Якщо безперервна, обмежена на функція має фур'є-образ , відмінний від нуля тільки на інтервалі , то вона може бути точно представлена ​​за своїми дискретним отсчетам, розділеними інтервалом дискретизації , у вигляді ряду
.
Наведемо доказ, що належить самому В.А.Котельнікову.
Запишемо через зворотне перетворення Фур'є
В
Так як дорівнює нулю поза інтервалу , можна вважати її періодичної з періодом і розкласти в ряд Фур'є
,
де
.
Порівнюючи і , знаходимо
.
Отже,
В
що і складає твердження теореми Котельникова. Зауважимо, що замість можна взяти будь .
Постановки задач теорії наближення. Основні характеристики найкращих наближень
Теорія наближення - це гілка математичного аналізу, покликана досліджувати способи перетворення в кінцеву тієї нескінченної інформації, яка закладена у поняття функції. Як самостійна частина математики вона веде початок з мемуара П.Л.Чебишева 1854, хоча окремі питання, що стосуються наближення функцій розглядалися раніше Ейлером, Гауссом, Лежандром, Понселе та іншими математиками XVIII-XIX ст. p align="justify"> На першому етапі розвитку теорії вивчалися наближення конкретних функцій за допомогою фіксованого аппроксимирующего безлічі, як правило, за допомогою поліномів або раціональних дробів.
Задача про наближення індивідуального елемента фіксованим апроксимується безліччю. p> Нехай (...
