x, y, z) є сума кінцевого числа орбіт одночленів.
А так як кожна орбіта виражається через,,, то і будь симметрический многочлен може бути виражений через,,. Тим самим основна теорема повністю доведена. p> Всі доказ є конструктивним: воно містить порівняно нескладний алгоритм, що дозволяє будь симметрический многочлен виразити через,,.
Знайдемо вираз симметрического многочлена
? (x, y, z) = x3 + y3 + z3-4xyz +2 x2y +2 xy2 +2 x2z +2 xz2 +2 y2z +2 yz2
через,,. Ми маємо:
? (x, y, z) = 0 (x3) -4 В· 0 (xyz) +2 В· 0 (x2y) =
= () -4 +2 () =
Зворотні статечні суми
Степеневі суми, відповідні негативним показником, тобто вираження
s-k = x-k + y-k + z-k =
(де k = 1, 2, 3, ...), іноді називають зворотними статечними сумами. Їх легко виразити через,,, якщо зауважити, що
. ()
Однак можна поступити і по-іншому. Досить зауважити, що формула (1) справедлива для будь-яких значень k (у тому числі і негативних), оскільки при виведенні цієї формули ні яких припущень щодо k не було зроблено. Замінюючи у формулі (1) k на l +3, легко знаходимо:
()
За допомогою отриманої формули () можна послідовно знаходити значення зворотних статечних сум:
В В В В
і так далі Навпаки, маючи обчислені таким чином значення зворотних статечних сум, можна легко знаходити орбіти 0 (xkyk), користуючись формулою ():
(x2y2) =
0 (x3y3) =
(x4y4) =
і так далі.
Основні формули необхідні для вирішення завдань:
В В В
x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 =
x2y2 + x2z2 + y2z2 =
x3y + xy3 + x3z + xz3 + y3z + yz3 =
Справедливість формул можна перевірити, підставивши значення,,.
симметрический многочлен рівняння змінну
ЗАСТОСУВАННЯ До елементарної алгебри
Рішення систем рівнянь з трьома невідомими
Результати вище сказаного дозволяють вирішувати деякі системи алгебраїчних рівнянь з трьома невідомими. Якщо ліві частини рівнянь симетрично залежать від невідомих x, y, z, то зручно прийняти,,, за нові невідомі. Вигода такої заміни невідомих полягає в тому, що ступеня рівнянь після заміни зменшуються (оскільки - многочлен другого ступеня, а - многочлен третього ступеня). Іншими словами, рішення системи щодо нових невідомих,, простіше, ніж рішення первісної системи. p> Після того як знайдені значення величин,,, потрібно знайти значення первинних невідомих x, y, z. Це може бути зроблено за допомогою наступної теореми. p> Нехай,, - три довільних числа. Кубічне рівняння
()
і система рівнянь
()
пов'язані один з одним таким чином: якщо u1, u2, u3-коріння кубічного рівняння, (), ...
