і трьом. Позначимо, як раніше, В - число вершин, Р - число ребер і Г - число граней. Тоді
ПГ = 2Р; Г =; телевізорами = 2Р; В =.
По теоремі Ейлера В-Р + Г = 2, отже,
В
Звідки
.
З отриманого рівності, зокрема, випливає, що повинно виконуватися нерівність 2n +2 ​​m-nm> 0, яке еквівалентно нерівності (n-2) (m-2) <4. Знайдемо всі можливі значення n і m, що задовольняють знайденому нерівності, і заповнимо наступну таблицю:
3453В = 4, Р = 6, Г = 4 ТетраедрВ = 6, Р = 12, Г = 8 октаедрВ = 12, Р = 30, Г = 20 ікосаедр4В = 8, Р = 12, Г = 4 КубНе существуетНе существует5В = 20, Р = 30, Г = 12 ДодекаедрНе существуетНе існує
Наприклад, значення n = 3, m = 3 задовольняють нерівності (n-2) (m-2) <4. Обчислюючи значення Р, В і Г за наведеними вище формулами, отримаємо: Р = 6, В = 4, Г = 4. Значення n = 4, m = 4 не задовольняють нерівності (n-2) (m-2) <4, отже, відповідного багатогранника не існує. p> З цієї таблиці випливає, що можливими топологічно правильними многогранниками є тільки правильні багатогранники. Неважко зрозуміти, чому може бути тільки п'ять типів правильних багатогранників. Візьмемо найпростішу грань - рівносторонній трикутник. Багатогранний кут можна утворити, приклавши один до одного три, чотири або п'ять рівносторонніх трикутників, тобто трьома способами. (Якщо число трикутників дорівнює шести, то сума плоских кутів при загальній вершині буде дорівнює 360?). При використанні квадратів в якості граней можна утворити багатогранний кут лише одним способом - за допомогою трьох доданих один до одного квадратів. Єдиним способом може бути утворений багатогранний кут і з правильних п'ятикутників. Правильні n - кутники при n багатогранних кутів, очевидно, не утворює взагалі. Таким чином, можуть існувати тільки п'ять типів правильних багатогранників: три багатогранника з трикутними гранями (тетраедра, октаедр, ікосаедр), один з квадратними гранями (куб) і один з п'ятикутними гранями (додекаедр). br/>
1.3.1 Завдання на побудову правильних багатогранників
Розглянемо найбільш оригінальні способи побудови правильних багатогранників.
Задача 1. Побудувати правильний тетраедр. br/>
Рішення
Нехай дано куб АВСDЕ 1 В 1 З 1 D 1 (рис.1.4). Розглянемо яку - або його вершину, наприклад А. У ній сходяться три грані куба, що мають форму квадратів. У кожному з цих квадратів беремо вершину, протилежну А, - вершини куба У 1 , С 1
