люстраціями. Спочатку краще навчитися будувати безлічі за формулами (їх достатньо в посібнику), а потім переходити до написання формул по діаграмах.
Завдання 2-6. Скільки існує семизначні чисел, цифри яких йдуть в порядку спадання?
Міркування учня: всі рішення зводиться до вказівкою того факту, що семизначні чисел стільки ж, скільки тризначних з відповідним убутним порядком цифр. Відсутня доказ цього факту. p> Аналіз помилки: Варто згадати те, що перед даною завданням розібрана наступна: скільки існує восьмизначних чисел, цифри яких йдуть в порядку спадання? Детально розглянуто рішення, суть якого полягає у встановленні взаємооднозначної відповідності між восьмизначними і двозначними числами. Кількість двозначних чисел нам вже відомо. Автори хотіли тим самим дати зразок рішення. Добре виділили етапи докази: кожному двозначного зіставлено рівно одне восьмизначного; кожному восьмизначного зіставлено рівно одне двозначне; встановлено взаімноооднозначное відповідність, отже, і тих і інших чисел однакове число. Передбачалося, що школярі будуть діяти аналогічно. Дійсно, багато учні привели повністю обгрунтоване рішення, але є і ті, хто не написав його, порахувавши зайвим приводити обгрунтування, аналогічні викладеним у методичному посібнику. Необов'язково вимагати від учня повністю приводити все доказ, але в чому відмінність міркувань з семизначними числами від міркувань з восьмизначними і чому дії будуть аналогічними - учень повинен написати. Інакше це - необгрунтована аналогія та рішенням не є. Однієї відповіді в даній задачі недостатньо, учень повинен розуміти суть підрахунку і вміти його здійснювати в подібних ситуаціях. Посилатися на відповідний результат можна лише після того, як показано, що рішення при цьому буде дійсно аналогічне. Для переконливості треба привести завдання, в якій дії за аналогією призводять до правильної відповіді. Можна навести завдання на пошук кількості дев'яток в числах від 1 до 100. Міркуємо таким чином. Від 1 до 10 - одна дев'ятка, від 11 до 20 також - одна, виходить в кожному десятку по одній дев'ятці. Так як десятків десять, то дев'ятка в числах від 1 до 100 зустрічається 10 разів. Все начебто вірно, за винятком того, що в кожному числі від 90 до 99 включно дев'ятка зустрічається ще і в розряді десятків (в інших десятках вона зустрічається лише в розряді одиниць), тому аналогія на цей десяток невірна. У результаті замість вірного результату 20 ми отримали всього лише 10.
На таких, очевидних з вигляду завданнях, подібних завданню 2-6, і потрібно розвивати вміння строго обгрунтовувати кожен крок у міркуваннях.
Завдання 3-5. б) Чотири футбольних команди A, B, C і D , провели один з одним кілька тренувальних матчів. Відомо, що команда A брала участь у 6 матчах, команда B - у 5, C - в 7, D - в 10 . Скільки всього відбулося матчів? p> в) Три футбольні команди, A, B і C провели один з одним кілька тренувальних матчів. Відомо, що команда A брала участь у 6 матчах, команда B - у 7 матчах, а команда C - в 11 матчах. Скільки матчів зіграли один з іншому команди A і C ?
Міркування учня зводяться до розгляду конкретних графів, що ілюструють турнір. Підрахувавши кількість матчів, він дає відповідь.
Аналіз помилки: Немає гарантій, що при побудові іншого графа відповідь буде такою ж. Це необгрунтоване узагальнення в багатьох випадках призводить до неповного відповіді. Наведемо конкретний приклад. p> Візьмемо 4 команди. A зіграла одну гру, B - дві, C - три , D - дві . Скільки ігор зіграли між собою команди B і C ? Зрозуміло, що відповідь неоднозначна. Може бути дві гри, може бути одна.
Нехай тепер учень доведе, що в його завданню така ситуація не виникне. Це підштовхне його до міркувань в загальному вигляді, і не варто на цьому етапі писати підказки, які позбавляють учня можливості самостійного рішення задачі. Учень повинен сам дійти до суті, в цьому полягає один з головних принципів навчання в ВЗМШ.
Завдання 3-6. Чи влаштувати такий турнір, щоб у ньому:
а) брало участь 13 команд, і кожна команда зіграла рівно 5 матчів;
б) брало участь 10 команд, і кожна команда зіграла б рівно 5 матчів;
в) брало участь 9 команд, і кожна команда зіграла б 4 матчі?
Міркування учня: а) так як кожна команда зіграла 5 матчів, то всього було ігор, тобто не ціле число. Але в будь-якому турнірі завжди кількість ігор - ціле число. Приходимо до протиріччя. Отже турнір влаштувати не можна. p> б) Підрахуємо кількість ігор: - ціле число. Значить турнір влаштувати можна. p> в) Підрахуємо кількість ігор: - ціле число. Зн...
