ї Із Вказаною послідовностей. p> При як легко переконатісь, y віражається через показнікові и трігонометрічні Функції від х; послідовні змінні вводять ще дробові степені х; в результаті у віражається через х в Елементарна функціях.
Як показавши Ліувіль (1841р.), при всех других значень розвязок СПЕЦІАЛЬНОГО рівняння Ріккаті НЕ может буті вираженною квадратурами від Елементарна функцій. p> Рівняння Ріккаті має ту спільну властівість з лінійнімі рівняннямі, что знання деякої кількості Частинами розвязків дозволяє найти загальний розвязок або привести его відшукання до квадратур. p> Приклад 1. Розвязаті рівняння
В
Зробимо заміну. Тоді
В
поклал, будемо мати и відокремівші змінні або Звідсі С = const, CєR. p> Отже, з цього вихід:
В
Приклад 2. Розвязаті рівняння. br/>В
Це рівняння Ріккаті. Неважко Бачити, что є розвязка рівняння. Тому заміна приводити дяни рівняння до рівняння Бернуллі:
В
поклал дістанемо
В
Віберемо з умови Наприклад, Тоді для маємо рівняння
В
Відокремлюємо змінні:
В В
Тому
і.
Приклад 3. Розвязаті рівняння. br/>В
Це рівняння Ріккаті. Іноді Частинами розвязок цього рівняння можна підібраті, ВРАХОВУЮЧИ вигляд вільного члена рівняння Шукатімемо Частинами розвязок у вігляді Підставівші в рівняння
В
Бачимо, что функція є розвязка цього рівняння при i Отже, Дістали два розвязка: і Заміною зводімо завданні рівняння до рівняння Бернуллі:
В
помножити обідві Частини цього рівняння на, дістанемо або для Звідсі або Остаточно и
Приклад 4. Розвязаті рівняння:
В
Показник відповідає значень тоді нужно ВСІ заміні вести в протилежних порядку. Для зручності порівняння з відповіднімі формулами позначімо вихідні змінні через І тоді маємо:
В
тут тоб Робимо заміну незалежної змінної:
В
Отрімаємо:
В
Переходячі до змінної знаходимо
.
Мі маємо a = 3, b = 3. Розвязуючі відносно формулу Перетворення маємо
В
підставляємо в Останнє рівняння
В
або спрощуючі,
В
Інтегруємо, розділяючі змінні
.
Поступово вертаємось до початкових змінніх:
В В
и Нарешті,
В
Висновок
Курсова робота Присвячую вивченню властівостей рівняння Ріккаті, а такоже побудова его загально розвязка. Вона Складається Із вступимо, шести параграфів, висновка и списку використаної літератури. p> У первом параграфі дано Означення рівняння Ріккаті и сформульовано Такі Дві Властивості:
. Рівняння Ріккаті зберігає свой вигляд при будь-якому перетворенні незалежної змінної. p>. Рівняння Ріккаті зберігає свой вигляд при будь-якому дробового-лінійному перетворенні шуканої Функції. p> У В...
