Підставляючи (3) в (1), отримуємо
В
тобто
В
Це рівняння задовольняється тільки, якщо множники при всіх ють рівні нулю, тобто якщо
В
Звідси
В
і, отже,
В
Вважаючи ряд рівномірно збіжним, знаходимо
Am (Р) = I (r, (3) ^ 4 (r) d3r, d3r = dx dy dz,
і, отже,
В
Отже, якщо задано початковий стан, то
В
Цю формулу можна переписати таким чином
В
де
Вираз (10) називається функцією Гріна для рівняння (1). Для різних рівнянь виходять різні функції Гріна. p align="justify"> Функції Гріна мають наступні властивості.
В
. Якщо
В
Таким чином, G (r, r0; (3) представляє собою рішення рівняння (1) при початковому умови типу (11).
. Має місце співвідношення
В
2.2 Приклади розв'язання неоднорідних диференціальних рівнянь за допомогою функції Гріна
диференційний рівняння лінійний грін
Функція Гріна - використовується для вирішення неоднорідних диференціальних рівнянь <# "21" src = "doc_zip118.jpg"/>,
де? - Дельта-функція Дірака <# "12" src = "doc_zip119.jpg"/> - функція Гріна лінійного оператора, тоді рішення неоднорідного рівняння дається інтегралом:
В
в одновимірному випадку, або
В
в багатовимірному, де - елемент об'єму.
Ключовим тут можна вважати розкладання по базису з дельта-функцій Дірака.
Іноді, коли неоднорідне рівняння містить у правій частині постійний коефіцієнт, тобто має вигляд, функція Гріна також визначається з урахуванням цього коефіцієнта, тобто, за визначенням тоді вона є рішення рівняння
.
У цьому випадку рішення вихідного неоднорідного рівняння з довільною функцією в правій частині записується як
.
Ясно, що описаний в цьому розділі відмінність у визначенні функції Гріна від даного в статті вище, стосується не суті справи, а всього лише предпочитаемой форми запису
Функція Гріна оператора Штурма - Ліувілля (одновимірний випадок)
Нехай - оператор Штурма Ліувілля <# "51" src = "doc_zip134.jpg"/>
і нехай - оператор крайових умов
В
Нехай - неперервна функція <# "20" src = "doc_zip138.jpg"/>. Припустимо також, що завдання регулярна, тобто існує тільки тривіальне рішення однорідної задачі. p> Теорема Гріна
Тоді існує єдине рішення, яке задовольняє системі яке задається виразом
,
де
