Нехай AB=6, AC=8 (Рісунок. 2.3).
Тоді медіани СС1 і ВВ1перпендікулярни і перетинаються в точці О.
SABC=3SBOC.
SBOC=OB? OC, оскільки трикутник ВОС прямокутний.
За ключовою задачі: якщо ВВ1=x, то OB=2x; якщо OC1=y, то OC=2y. Трикутники ВОС1 і СОВ1 прямокутні і по теоремі Піфагора маємо
SBOC =.
Тоді SABC=
Відповідь:.
Завдання 2. У трикутника АВС АА1 і СС1 - медіани, причому АА1=5,,. Знайдіть площу трикутника АВС.
Тоді
,,
,.
Рішення.
ключовому завданні. . Довжину боку ОС знайдемо по теоремі синусів (Рісунок. 2.4):
? .
Відповідь:.
Завдання 3. Медіани трикутника 3, 4 і 5. Знайдіть площу трикутника.
А1, В1, С1 - середини сторін ВС, АС і АВ відповідно (Рісунок. 2.5). Нехай,,. Тоді по ключовому завданні,, і. Добудуємо трикутник АОС до паралелограма, відклавши на прямий ВВ1 від точки В1 відрізок B1D, рівний В1О.
Тоді .. Отже,.
Відповідь:
Завдання 4. Довжини двох сторін трикутника 27 і 29. Довжина медіани, проведеної до третьої сторони, дорівнює 26. Знайдіть висоту трикутника, проведену до сторони довжиною 27.
Нехай AB=29, AC=27, медіана AA 1=26 (Рісунок. 2.6).
Щоб знайти висоту ВН достатньо знати площу трикутника АВС. Щоб знайти площу трикутника АВС добудуємо його до паралелограма АВКС, продовживши медіану АА 1.
Тоді SABC=SABK=SABKC.
SABK =.
SABC=AC? BH,
=? 27? BH,
BH=20.
Відповідь: 20.
Довжина медіани
Ключове завдання:
1 . Доведіть, що якщо сторони АВ, АС і ВС трикутника АВС рівні відповідно с, b і а, то довжина медіани, проведеної до сторони ВС, може бути обчислена за формулою
За теоремою косинусів маємо:
Трикутник ABM (Рісунок. 2.7):
Трикутник АВС:
Складемо ці рівності, отримаємо
Звідси
2 . Сума квадратів медіан трикутника дорівнює суми квадратів його сторін.
Використовуючи попередню ключове завдання, отримаємо:
3 .
Сума квадратів медіан прямокутного трикутника, проведених з вершин гострих кутів, дорівнює квадрата його гіпотенузи.
Нехай АМ, ВН - медіани? АВС (Рісунок. 2.8).
З? АСМ:
З? RAH:
Складемо рівність (1) і (2), отримаємо
Завдання системи:
Завдання 1. Знайдіть відношення суми квадратів всіх медіан трикутника до суми квадратів всіх його сторін.
Відповідь:.
Завдання 2.
. Знайдемо АС, використовуючи формулу довжини медіани (Рісунок. 2.9):
2. Трикутник АВС - прямокутний, так як
Отже,
Відповідь:.
Завдання 3 . Довжини двох сторін трикутника рівні 16 і 12. Медіани, проведені до цих сторін трикутника, перпендикулярні. Знайдіть третю сторону трикутника.
...
