Проведемо медіани АК і ВМ у трикутнику АОВ (Рісунок. 2.10). Зауважимо, що
Тоді, відповідно до третьої ключовому завданні, запишемо:
Відповідь:.
Медіана, проведена до гіпотенузи.
Ключове завдання. У прямокутному трикутнику довжина медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює її половині.
Продовжимо відрізок CD і відзначимо на промені відрізок DM=CD, AMBC - чотирикутник (Рісунок. 2.11).
Доведемо, що AMBC - прямокутник. Розглянемо? ADM і? CDB, за умовою AD=AB, MD=DC; ? ADM =? CBD (як вертикальні), значить,? ADM =? CDB (по двох сторонах і куту між ними), отже, АМ=ВС.
Так само з? ADC =? BDM слід АС=МВ.
Значить, АМ=НД, АС=МВ,? С=90 о, тобто: АМВС - прямокутник.
АВ і МС - діагоналі прямокутника АМСВ, тобто АВ=МС, АD=DB=MD=DC, значить
Наслідки:
1 . Центр описаної близько прямокутного трикутника кола лежить на середині гіпотенузи.
. Якщо в трикутнику довжина медіани дорівнює половині довжини сторони, до якої вона проведена, то цей трикутник - прямокутний.
Завдання системи:
Завдання 1. Сходи ковзає по стінках кута. Яку траєкторію описує ліхтарик, що знаходиться на середній сходинці сходів?
За ключовому завданні (Рісунок. 2.12). Аналогічно,. Так як, то.
Безліч точок, віддалених від точки С на однаковій відстані, лежать на колі. Таким чином, ліхтарик, що знаходиться на середній сходинці сходів, описує дугу кола.
Завдання 2. У трапеції кути при одній з підстав дорівнюють 300 і 600, довжина відрізка, що з'єднує середини підстав, дорівнює 3. Знайдіть довжини підстав трапеції і її площа, якщо довжина середньої лінії дорівнює 5.
Нехай? BAD=60o,? CDA=30o, тоді продовження бічних сторін перетинаються під прямим кутом (Рісунок. 2.13).
За ключовою завданню і. Нехай, тоді.
По властивості середньої лінії трапеції:,. Отже,.
Відповідь:
Властивість бісектриси.
Ключове завдання. Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки пропорційні прилеглим сторонам.
Проведемо CF, паралельно бісектрисі BD (Рісунок. 2.14). Тоді по теоремі про пропорційні відрізках. Трикутник BCF - рівнобедрений.
Так як кути? дорівнюють як відповідні при паралельних прямих BD і CF і січною AF, кути? BCF і? CBD рівні як навхрест лежачі при паралельних прямих BD і CF і січної ВС,? ABD =? CBD по властивості бісектриси. Отже, BF=BC. Тоді.
Завдання системи:
Завдання 1. У прямокутному трикутнику бісектриса прямого кута ділить гіпотенузу на відрізки 3 і 4. Знайдіть площу трикутника.
Нехай, (Рісунок. 2.16). Тоді по властивості бісектриси, а по теоремі Піфагора. Вирішуючи систему отримаємо:,. Обчислюючи площа трикутника за формулою
,
отримаємо.
Про т в е т: 11,76.
Завдання 2. У прямокутному трикутнику проведена бісектриса гострого кута. Відрізок, що сполучає її з підставу з точкою перетину медіан, перпендикулярний катету. Знайдіть гострі кути трикутника.
Не...