>
+ [] =,
де K задається співвідношенням:
+.
Формулу для обчислення матриці отримаємо використовую вираз
+
В подальший будемо використовувати властивість коваріаційних матриць. +=+.
Формули (3) - (7) отримані.
2.4 Нелінійний фільтр (дискретний випадок)
рекуррентно оптимальний алгоритм (3) - (7) є оптимальним для лінійних систем (1) - (2).
Однак у випадку малого відхилення вектора від його оцінки він може бути застосований і для нелінійних систем виду
a),;
b).
де n-мірна нелінійна функція від n аргументів, які є елементами вектора; m-мірна нелінійна функція від n аргументів, які є елементами вектора; «Білі» шуми.
Лінеарізуем функції і близько точки, а функцію близько точки. У такому випадку отримаємо з точністю до малих другого порядку
;
,
де матриці приватних похідних (матриці Якобі), обчислені в точках відповідно.
Вищевказані рівняння є лінійними. Вони можуть розглядатися як рівняння виду (1) - (2), якщо встановити відповідність
,
+
Користуючись цими відносинами відповідності, з алгоритму Калмана (3) - (7) отримуємо алгоритм для оцінювання
В останньому виразі лінійні члени, що включають в себе матриці, взаємно скорочуються.
У кінцевому вигляді маємо
(10)
Інші формули ідентичні формулам (3) - (7), підставляючи в якості матриць співвідношення (9). Алгоритм (10) являє собою рекурентний алгоритм оцінювання з Калману для нелінійних дискретних систем. Такий алгоритм вже не буде строго оптимальним, однак у багатьох випадках це алгоритм дає високу точність оцінювання.
2.5 Оцінювання по максимуму апостеріорної ймовірності (дискретний випадок)
Розглянемо нелінійну дискретну модель виду:
a) ,,
b)
кінцевий момент часу в проведенні вимірювань.
За результатами вимірювань для безлічі значень фазових координат потрібно визначити оцінки, що доставляють максимум для апостеріорної щільності розподілу ймовірностей. При цьому отримання значень буде являти собою процес згладжування, а отримання оцінки процес фільтрації.
За формулою Байєса маємо
.
З (11, б) випливає, що при відомому функція являє собою нормальну щільність, так як випадковий нормальний процес. У такому випадку
За правилом множення ймовірностей отримаємо, що
Так як послідовність незалежних нормальних випадкових векторів, то марківський процес, і попереднє співвідношення перетвориться до виду:
де но...
