> Далі для стислості запису для позначення випадкових величин, їх густини, математичних очікувань і коваріаційних матриць ми будемо застосовувати конкретні реалізації
Розглянемо тепер задачу на визначення умовної гауссовской щільності ймовірності. Нехай заданий нормальний випадковий вектор, що складається з двох векторів z і y, розмірності яких n і m відповідно. Математичні очікування цих векторів, а також коваріаційні матриці вважаються відомими. Також вважаємо, що, тобто випадковий вектор y є невиродженим.
Перейдемо до пошуку умовного математичного сподівання і умовну ковариационную матрицю, які задають умовну щільність ймовірності як щільність гауссовского типу.
Для вирішення поставленого завдання введемо вектор, а матрицю підберемо так, щоб вектори і були некоррелірованнимі
,
де;
Отримуємо
В силу незалежності випадкових величин і отримуємо рівність умовного і апріорного очікувань
Враховуючи, що
Остаточно отримуємо вираз для умовного математичного очікування
(8)
Обчислимо тепер ковариационную матрицю умовного нормального распреденія. Розглянемо випадковий вектор
У цьому випадку коваріаційна матриця може бути представлена ??у вигляді
В силу незалежності випадкових векторів і в останньому виразі від умовних математичних сподівань можна перейти до апріорним.
Тоді отримаємо
Отже, визначені формули для знаходження умовного математичного сподівання і ковариационной матриці. Ці формули будуть необхідні для виведення фільтра Калмана.
2.3 Висновок лінійного фільтра
У цій частині буде розглянуто безпосередній висновок формул (3) - (7). За результатами вимірювань, проведених в дискретні моменти часу, необхідно визначити оцінки вектора станів найменшою дисперсії процесу (1). Для цього по відомим вже вимірам необхідно визначити умовне математичне сподівання, яке і приймається за оптимальну оцінку вектора. Оптимальність її випливає з попередньої глави. Передбачається, що матриці в співвідношеннях (1) і (2) і коваріаційні матриці відомі.
Крім умовного математичного очікування потрібно визначити ковариационную матрицю умовного нормального розподілу.
При вирішенні поставленого завдання припустимо, що до моменту часу оцінка, і коваріаційна матриця вже обчислені на попередньому кроці і нам відомі. З цього припущення з урахуванням (1) і (2) випливає, що апріорні для моменту (тобто не враховують результат останніх вимірювань) значення математичних очікувань і коваріаційних матриць для випадкових векторів будуть рівні:
;
;
;
;
Для стислості позначимо.
M [)]=+;
=M] =.
З вищевикладених формул для умовних математичних сподівань і коваріаційних матриць на підставі виразу (8) отримуємо формулу для оцінки:
