ності полів [9]
. (А. 4)
Тут
,
,
де - параметри Ляме,
- коефіцієнт лінійного розширення,
- щільність середовища,
- коефіцієнт теплопровідності,
- початкова температура, за яку зазвичай приймають температуру навколишнього середовища,
- переміщення точок середовища,
- температура.
Граничні умови задачі
,
;
.
Ці граничні умови для задачі про коливання напівобмеженого шару товщини. Нижня грань шару жорстко зчеплена з нешаткою підставою і теплоізольована, на верхній межі задані нормальні, дотичні напруження і тепловий потік.
Тут - коефіцієнт теплопровідності,
- нормальна компонента вектора теплового потоку.
Розглянемо випадок, коли переміщення уздовж осі дорівнює нулю, а переміщення і вздовж осей і залежать тільки від координати. Якщо розглядається квазістаціонарному завдання, то в рівняннях Ляме-Неймана (1) - (3) можна знехтувати інерційними членами і. Тоді отримаємо замість рівнянь (1) - (3) два рівняння
, (А. 5)
(А. 6)
(вісь перпендикулярна поверхні середовища).
Розглянемо також незв'язану задачу, тобто другим доданком в рівнянні (4) (вкладом пружних хвиль) можна знехтувати.
Крім того, вважаємо, що тепловий процес є квазістаціонарним, тобто третій доданком в рівнянні (4) також можна знехтувати. В результаті отримаємо
. (А. 7)
Диференціальні рівняння (5) - (7) є основними диференціальними рівняннями, що описують вихідну завдання.
Граничними умовами при даних припущеннях є
,
.
Зауважимо, що
,
,
де - коефіцієнт Пуассона.
Тобто граничні умови приймуть вигляд
,
.
Додаток Б
Графіки
Рисунок Б.1 - Контактний тиск p (t)
Рисунок Б.2 - Температура поверхонь T * (t)
плита шар термосилової стійкість
Малюнок Б.3 - Горизонтальне переміщення v (h, t)
Малюнок Б.4 - Вертикальне переміщення уздовж w (h, t)