Завдання.
Пряма рівномірно обертається навколо перетинає її перпендикулярної кривої і рухається поступально уздовж цієї прямої. Знайти параметричні рівняння поверхні.
Рішення:
Нехай Oz - нерухома пряма.
, - обертається в площині xOy.
,
,
,
- прямий гелікоїд або коноїд.
Довжина дуги лінії на поверхні. Перша квадратична форма поверхні.
,
.
,
,
,
,
.
Від t1 до t2:
,,,
- перша квадратична форма поверхні.
,.
Кут між кривими на поверхні.
Визначення: Кутом між двома кривими на поверхні називається кут між дотичними до цих кривим, проведених в точці їх перетину.
,
- дотичний вектор уздовж однієї кривої,
- нескінченно малий дотичний вектор вздовж іншої кривої (обидва вектори розглядаються в точці перетину кривих).
Розглянемо cos кута між координатними лініями (cos?):
).
).
.
Площа області на поверхні.
.
,
Формула Лагранжа:, тоді
,
.
Затвердження 1.
Перша квадратична форма поверхні позитивно визначена. (Доказ див. вище).
.
Завдання № 61 (Розендорн, стор 30).
1),
2).
,
,
.
,
,
.
,
Нормальна кривизна лінії на поверхні. Друга квадратична форма поверхні.
Визначення: Проекція вектора кривизни кривої, що лежить на поверхні, на нормаль до поверхні в даній точці кривої називається нормальної кривизною кривої.
Нехай крива на поверхні задана рівнянням:,.
- вектор кривизни кривої,,
.
,
,
,
,
;;;
,
.
- нормальна кривизна кривої на поверхні.
;;;
,
,
,
.
Обчислення коефіцієнтів другого квадратичної форми.
.
,
,
.
.
Твердження 2.
Нормальні кривизни двох кривих на поверхні, що проходять через точку Р і мають у цій точці загальну дотичну, в точці Р рівні між собою.
Доказ:
L, M, N, E, F, G - функції від u і v;
L1=L2, M1=M2, N1=N2, E1=E2, F1=F2, G1=G2 в точці Р.
- задає напрям дотичного вектора кривої в дотичній площині, отже. Якщо у кривих загальна дотична, то, отже,
Визначення: Нормальна кривизна кривої на поверхні в даній точці називається нормальної кривизною поверхні в даній точці в даному напрямку дотичної площини.
Нормальні перетину поверхні та їх властивості.
Визначення: Крива, що лежить в перетині поверхні площиною, що проходить через нормаль до поверхні в даній точці, називається нормальним перетином поверхні в даній точці.
Затвердження 3.
Нехай k - кривизна нормального перетину, тоді в точці Р поверхні (22), і - нормальна кривизна поверхні в то...
