овою. Вивчаючи поведінку рішення і відповідних операторів H поблизу кінцевих точок, можна встановити наступну теорему для кожного з 6 загальних типів факторизации:
Теорема 3. Якщо - квадратично інтегрована функція на всій області зміни х і L (m) - зростаюча функція від, то операція H (1.2.2а) збільшення m дає функцію, також квадратично інтегруються і обращающуюся в нуль в кінцевих точках. Якщо L (m) - спадна функція від то операція Н (1.2.2b) пониження т дає функцію, також квадратично інтегруються і перетворюються на нуль в кінцевих точках. [12,13,14,15]
Теорема справедлива при більш слабких, але більш складних умовах, проте для наших цілей Наведений вище результат достатній. Неправильно було б стверджувати, що оператор Н ніколи не впливає на интегрируемость; наприклад, користуючись термінологією, яку ми введемо пізніше, можна сказати, що для рішень класу I погано провідне себе може бути перетворено в добре провідне себе.
Теорема 3 повинна бути доведена для кожного типу факторизації, але докази у всіх випадках однакові.
1.5 Умови, що накладаються на ?, для існування рішення
Розглянуті задачі можна розбити на два класи.
Клас I характеризується тим, що - зростаюча функція m. Ми побачимо, що це зазвичай призводить до кінцевої сходах рішень, що відносяться до m=l, l +1, l +2, ... для кожного значення? L (l=0,1,2, ...) параметра?.
Рішення класу II виникають, якщо - спадна функція т. Тоді зазвичай виходить нескінченна сходи рішень, що відносяться до m=l, l +1, l +2, ... для кожного значення? l (l=0 , 1,2, ...) параметра?.
У кожному класі один кінець сходів може бути отриманий простий квадратурою, а інші рішення - за допомогою (1.2.2). У тих випадках, коли не дискретно, як і раніше має місце рекуррентная формула (1.2.2), але немає відповідної вихідної функції. Можливий також випадок, коли L (m) є константою. У цьому випадку знову виходять тільки рекурентні формули. Рівняння Бесселя призводить до єдиного важливого наприклад цього типу.
Теорема 4, що визначає, як функцію l, буде доведена для задач класу I. Для класу II доказ в основному таке ж.
Теорема 4. Якщо L (m) - зростаюча функція цілого числа m для 0
Для доказу припустимо, що хороше, тобто інтегрувальне, рішення. Тоді на підставі теореми 3 також є хорошим рішенням (або нулем) і звертається в нуль в кінцевих точках. Тому можна записати
де (a, b) - вся область зміни x. Тут використані теорема 2 і (1.2.1а). Аналогічно
Оскільки L (m) - зростаюча функція від m, продовжуючи це міркування, ми досягнемо деякого значення m, позначеного, наприклад, через l +1, для якого виходить суперечливе нерівність якщо не виконується умова т. е .
(1.5.1)
На підставі (1.2.1а) ми отримуємо
Ця умова виражає через l, що є одним з можливих значень m. Інші значення m повинні бути менше l. ...
