Так виходять шукані власні значення.
У пункті 1.7. буде використано (1.5.1) спільно з (1.2.2) для знаходження власних функцій; поки ж тільки відомо, що для, не великих максимального з двох значень L (М) і L (М +1), умова (1.5.1) є необхідним для існування власних функцій класу I.
Відповідна теорема для рішень класу II стверджує: якщо L (m) - спадна функція цілого числа m для 0? m? M і, то необхідна умова для існування квадратично інтегровних вирішенні полягає у виконанні рівності де l -ціле число, а m=l, l +1, l +2, ...
Умова, аналогічне (1.5.1), має вигляд
Нарешті, слід зазначити, що якщо m0, введене в пункті 2.l не вибрано рівним нулю, то теорема 4, очевидно, вимагає, щоб не l, а було цілим числом. [31,33]
1.6 Нормировка
Якщо виконуються умови теореми 3, можна так підібрати оператори, щоб була забезпечена не тільки квадратична интегрируемость, а й нормировка власних функцій. Замість (1.2.1) запишемо і замість (1.2.2)
(1.6.1а)
(1.6.1b)
Нові позначення вказують на залежність рішень від l, а не від?. Тоді, повторюючи міркування, наведені для доведення теореми 4, отримаємо Отже, якщо функція унормована, то будуть нормовані та інші.
Звідси: Теорема 5. Певні вище оператори H зберігають нормировку власних функцій, якщо ці функції нормованої. Надалі для позначення нормованих рішень наших рівнянь будуть використані прописні літери.
1.7 Рішення
Тепер можна показати, як знаходяться власні значення та нормовані власні функції рівняння, якщо це рівняння може бути факторізовано, тобто якщо для заданого r (x, m) відомі k (x, m) і L (m).
Розглянемо докладно задачу класу I. У цьому випадку L (m) - зростаюча функція m, і становить інтерес тільки той випадок, коли? не більше максимальної з двох значень L (M) і L (M + l).
По теоремі 4 власні значення Крім того, теорема 4 говорить, що співвідношення є необхідною умовою існування нормованих власних функцій. Отже,
(1.7.1)
де С - константа, яка формулюється, якщо це можливо, з умови Обмовка якщо можливо необхідна, так як заздалегідь не відомо, чи є функція квадратично интегрируемой. Нам відомо лише, що при виконанні цієї умови рівність (1.7.1) має місце. (У більшості випадків (1.7.1) можна так нормувати, але виявляється, що іноді необхідно накласти подальші обмеження на деякі параметри завдання.)
Інші нормовані рішення тоді визначаються зі співвідношення
(1.7.2)
Рішення диференціального рівняння (1.1.1) залежать від двох параметрів l, m кожній парі значень (l, m) відповідають два рішення. Якщо рішення добре поводиться, воно зображено точкою на рис. 1. Тільки ті рішення, для яких l? M, можуть задовольняти граничним умовам, так як тільки в такому випадку L (l +1)-L (m +1)? 0. Рішення, розташовані вздовж лінії m=l, виходять негайно простий квадратурою (1.7.1). Від кожного з них сходи дозволяє опуститися вниз до інших рішень, які належать до того ж значенню?=L (l +1). Вони виходять за допомогою (1.7.2). [26,27...
