А 5. Система n лінійних рівнянь з n-невідомими (СЛЗ)
Основні поняття
Системою лінійних алгебраїчних рівнянь називається система виду:
(1)
де aij, i = 1, ..., m, j = 1, ..., n називаються коефіцієнтами системи, bi - вільними членами. xn - невідомі.
Систему (1) можна записати в матричній формі
A Г— X = B.
А - матриця коефіцієнтів системи, звана основний матрицею:
В
вектор-стовпець з невідомих хj,
вектор-стовпець з вільних членів bi.
Рішенням системи називається n значень невідомих х1 = с1, х2 = с2, ..., хn = cn, при підстановці яких всі рівняння системи звертаються у вірні рівності.
Система рівнянь називається сумісною, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо вона не має ні одного рішення.
Спільна система називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, та невизначеною, якщо вона має більше одного рішення. В останньому випадку кожне її рішення називається приватним рішенням системи. Сукупність усіх приватних рішень називається загальним рішенням. p align="justify"> Дві системи називаються еквівалентними, якщо вони мають одне і те ж спільне рішення.
Еквівалентні системи виходять, зокрема, при елементарних перетвореннях системи за умови, що перетворення виконуються лише над рядками матриці.
Система лінійних рівнянь називається однорідною, якщо всі вільні члени в системі (1) дорівнюють нулю.
Однорідна система завжди сумісна, так як х1 = х2 = ... = xn = 0 є рішенням системи. Це рішення називається нульовим або тривіальним. p align="justify"> Матричний спосіб вирішення СЛЗ
Нехай дана система n лінійних рівнянь з n невідомими
В
або в матричної формі А Г— Х = В.
Основна матриця А такої системи квадратна. Визначник цієї матриці
В
називається визначником системи. Якщо визначник системи відмінний від нуля, то система називається невиродженої. p align="justify"> Знайдемо рішення даної системи рівнянь у випадку D В№ 0.
Помноживши обидві частини рівняння А Г— Х = В зліва на матрицю, отримаємо Г— А Г— Х = Г— В. Оскільки Г— А = Е і Е Г— Х = Х, то
Х = Г— В. (2)
Відшукання рішення системи за формулою (2) називається матричним способом вирішення системи.
Матричне рівність (2) запишемо у вигляді
=
тобто
=
Звідси випливає, що
х1 =
...............................
xn =
Але є розкладання визначника
В
за елементами першого стовпця. Визначник D1 виходить з визначника D шляхом заміни першого шпальти коефіцієнтів стовпцем з вільних членів. br/>
Отже,
Аналогічно: де D2 отримано з D шляхом заміни другого шпальти коефіцієнтів стовпцем з вільних членів;
Формули
, (i = 1, 2, ..., n) (3)
називаються формулами Крамера.
ТЕМА 6. Довільна система лінійних рівнянь
(m рівнянь з n невідомими)
Рішення систем лінійних рівнянь
Нехай дана довільна система m лінійних рівнянь з n невідомими
(1)
- основна матриця системи.
Розширеної матрицею системи називається матриця системи, доповнена стовпцем вільних членів
В
Відповідь на питання про спільності системи дає теорема Кронекера - крапель.
Теорема. Система лінійних алгебраїчних рівнянь совместна тоді і тільки тоді, коли ранг розширеної матриці системи дорівнює рангу основної матриці. p align="justify"> Правила практичного розвідки всіх рішень спільної системи випливають з наступних теорем.
Теорема. Якщо ранг спільної системи дорівнює числу невідомих, то система має єдине рішення. p align="justify"> Теорема. Якщо ранг спільної системи менше числа невідомих, то система має незліченну безліч рішень. p align="justify"> Правило рішення довільної системи лінійних рівнянь
1. Знайти ранги основної та розширеної матриць системи. Якщо r (A) В№ r (), то система несумісна. p>. Якщо r (A) = r () = r, система совместна. Знайти будь-якої базисний мінор порядку r. Взяти r рівнянь, з коефіцієнтів яких складений базисний мінор (інші рівняння відкинути). Невідомі, коефіцієнти яких входять до базисний мінор, називають головними і залишають ліворуч, а інші n - r невідомих називають вільними і переносять у праві частини рівнянь. p>. Знайти вираження головних невідомих через вільні. Отримано з...
