екарт відкидає як ідею порожнього простору, так і ідею дискретного атомарної будови матерії. Сутністю матерії є протяг, сутністю розуму - мислення, вони несвідомих одне до іншого, отже, Всесвіт дуалистична, тобто складається з двох не схожих один на одного субстанцій - духовної і тілесної.
Такому уявленню про роль мислення відповідає заснована на раціоналістичної дедукції методологія. У «Роздумах про метод ...» Декарт формулює основи свого методу в наступних чотирьох правилах:
істинним вважати лише те, що очевидно, ясно і чітко представляється уму;
ділити кожну проблему на якомога більшу кількість частин, необхідних для її вирішення;
сходити, мислячи по порядку, від найбільш простих предметів до все більш складних;
складати настільки повні переліки та огляди, щоб бути впевненим, що нічого не пропущено [1. С. 396].
Такий метод, на думку Декарта, повинен дати можливість адекватного пізнання природи. Метод викладено досить загально, ясно тільки, що вирішальну роль у визначенні істини повинна грати інтуїція, а при належному застосуванні методу природа пізнавана. Оскільки Декарт мислить матерію безперервної, відкидаючи атомістичні уявлення, в його трактуванні вона виступає не стільки речовиною фізики, скільки простором стереометрії. Тому не дивно, що таке важливе місце у творчості Декарта займають його математичні дослідження. У «Геометрії" (1637) Декарт вперше ввів поняття змінної величини і функції, що корелює з його уявленнями про єдиному світі і ролі в ньому руху, зміни. Змінну величину Декарт розуміє двояко: як відрізок змінної довжини і постійного напряму - поточну координату точки, що описує своїм рухом криву, і як безперервну числову змінну, що пробігає сукупність чисел, що виражають цей відрізок. Двоякий образ змінної зумовив взаємопроникнення геометрії і алгебри. Дійсне число Декарт трактує як відношення будь-якого відрізка до одиничного (таке визначення було сформульовано лише І. Ньютоном). Негативним числам Декарт дає реальне тлумачення у вигляді направлених ординат. Декарт вводить систему позначення змінних величин, коефіцієнтів і ступенів, яка дійшла в практично неизменном вигляді до наших днів, і тому запис рівнянь у нього майже не відрізняється від сучасної.
Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь: сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних коренів, поставив питання про межі дійсного коріння, висунув проблему приводимість (представлення цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді добутку двох функцій такого ж роду) і визначив, що рівняння третього ступеня вирішуваний в квадратних радикалах і вирішується за допомогою циркуля і лінійки, коли воно приводиться.
З онтологічної ідеї Декарта про існування незалежної матеріальної протяжної субстанції народжується його підвищений інтерес до вивчення простору, його властивостей, його опису математичними, алгебраїчними методами. Звідси - один крок до з'єднання існуючих раніше роздільно дисциплін - алгебри і геометрії і створення нової галузі математики - аналітичної геометрії, що дозволяє вирішувати завдання обох математичних дисциплін.
У аналітичній геометрії, яку одночасно з Декартом розробляв П. Ферма, основним досягненням Декарта можна вважати створений ним метод координат. В область вивчення геометрії Декарт включив «геометричні» лінії, які можна описати рухами шарнірних механізмів. Він розробив спосіб побудови нормалей і дотичних до плоских кривих і застосував його, зокрема, до деяких кривих 4-го порядку, так званим овалам Декарта. У приватних листуваннях містяться й інші відкриття Декарта: обчислення площі циклоїди, проведення дотичних до циклоїди, визначення властивостей логарифмічної спіралі.
У цілому «Геометрія» Декарта справила величезний вплив на розвиток математики. З його ідей згодом виникло основне досягнення математики Нового часу - диференціальне та інтегральне числення, які були розроблені Г. Лейбніцем і І. Ньютоном і стали математичною основою класичної фізики.
Незвичайно важливим для науки того часу було виробити принципи ідеалізації. Першим до такої усвідомленої ідеалізації прибігає Г. Галілей. Говорячи про основний елементарному процесі - русі, він припускає, що рівномірний рух по колу, раз почавшись, продовжується нескінченно, якщо цьому не перешкоджають зовнішні дії.
Декарт видозмінив і доповнив уявлення Галілея, сформулювавши два вихідні закону руху: «... одного разу прийшли в рух тіла продовжують рухатися, поки цей рух не затримається якими-небудь зустрічними тілами» {1. С. 487], притому що «кожна частка матерії окремо прагне продовжувати подальший рух не по кривій, а виключно по прямій ...» [1. С. 487].
Ці ...
