візерунки листя, капілярна система рослин; кровоносна, нервова, лімфатична системи в організмах тварин, фрактальної річкові басейни, поверхня хмар, лінії морських узбереж, гірський рельєф ...
Щоб уявити собі фрактал розглянемо приклад, наведений у книзі Б. Мандельброта «Фрактальна геометрія природи» став класичним - «Яка довжина берега Британії?». Відповідь на це питання не так простий, як здається. Все залежить від довжини інструменту, яким ми будемо користуватися. Помірявши берег за допомогою кілометрової лінійки ми отримаємо якусь довжину. Проте ми пропустимо багато невеликих заливчик і полуостровков, які за розміром набагато менше нашої лінійки. Зменшивши розмір лінійки до, скажімо, 1 метра - ми врахуємо ці деталі ландшафту, і, відповідно довжина берега стане більше. Підемо далі і виміряємо довжину берега за допомогою міліметрової лінійки, ми тут врахуємо деталі, які більше міліметра, довжина буде ще більше. У підсумку відповідь на такий, здавалося б, просте питання може поставити в безвихідь кого завгодно - довжина берега Британії нескінченна.
Основна властивість фракталів - самоподоба. Будь мікроскопічний фрагмент фрактала в тому чи іншому відношенні відтворює його глобальну структуру. У найпростішому випадку частина фрактала являє собою просто зменшений цілий фрактал.
Звідси основний рецепт побудови фракталів: візьміть простий мотив і повторюйте його, постійно зменшуючи розміри. Зрештою вийде структура, яка відтворює цей мотив у всіх масштабах. (рис.9)
Рисунок 9 - Мотив повторення фрактала
Беремо відрізок і середню його третину переламивающимися під кутом 60 градусів. Потім повторюємо цю операцію з кожною з частин вийшла ламаної - і так до нескінченності. У результаті ми отримаємо найпростіший фрактал - триадную криву, яку в 1904 році відкрила математик Хельга фон Кох.
Якщо на кожному кроці не тільки зменшувати основний мотив, але також зміщувати і повертати його, можна отримати більш цікаві і реалістично виглядають освіти, наприклад, лист папороті або навіть цілі їх зарості. А можна побудувати вельми правдоподібний фрактальний рельєф місцевості і покрити її дуже симпатичним лісом. У 3D StudioMax, наприклад, для генерації дерев використовується фрактальний алгоритм. І це не виняток - більшість текстур місцевості в сучасних комп'ютерних іграх представляють фрактали. Гори, ліс і хмари на картинці - фрактали.
Файли фрактальних зображень мають розширення fif. Зазвичай файли у форматі fif виходять трохи менше файлів у форматі jpg, але буває і навпаки. Найцікавіше починається, якщо розглядати картинки з все більшим збільшенням. Файли у форматі jpg майже відразу демонструють свою дискретну природу - з'являється горезвісна драбинка. А ось fif файли, як і належить фракталам, зі зростанням збільшення показують все нову ступінь деталізації структури, зберігаючи естетику зображення.
Геометричні фрактали.
Саме з них і починалася історія фракталів. Цей тип фракталів виходить шляхом простих геометричних побудов. Зазвичай при побудові цих фракталів надходять так: береться «затравка» - аксіома - набір відрізків, на підставі яких буде будуватися фрактал. Далі до цієї «затравки» застосовують набір правил, кото?? ий перетворить її в яку-небудь геометричну фігуру. Далі до кожної частини цієї фігури застосовують знову той же набір правил. З кожним кроком фігура буде ставати все складніше і складніше, і якщо ми проведемо нескінченну кількість перетворень - отримаємо геометричний фрактал.
Розглянута раніше крива Пеано є геометричним фракталом. На малюнку 10 наведено інші приклади геометричних фракталів (Сніжинка Коха, Лист, Трикутник Серпінського).
Рісунок10- Сніжинка Коха
Рісунок11-Лист
Малюнок 12 -Треугольнік Серпінського
З цих геометричних фракталів дуже цікавим і досить знаменитим є - сніжинка Коха. Будується вона на основі рівностороннього трикутника. Кожна лінія якого замінюється на 4 лінії кожна довжиною в 1/3 вихідної. Таким чином, з кожною итерацией довжина кривої збільшується на третину. І якщо ми зробимо нескінченне число ітерацій - отримаємо фрактал - сніжинку Коха нескінченної довжини. Виходить, що наша нескінченна крива покриває обмежену площу.
Розмірність сніжинки Коха (при збільшенні сніжинки в 3 рази її довжина зростає в 4 рази) D=log (4)/log (3)=1.2619 ...
Для побудови геометричних фракталів добре пристосовані так звані L-Systems. Суть цих систем полягає в тому, що мається певних набір символів системи, кожен з яких позначає певну дію і набір правил перетворення символів.
Алгебраїчні...
