ри зміні заданого значення регульованої величини, автоматичний регулятор впливає на систему таким чином, щоб ліквідувати це відхилення. В системі виникає перехідний процес, обумовлений її динамічними властивостями.
Якщо після закінчення перехідного процесу система знову приходить у первісний або в інший рівноважний стан, то таку систему називають стійкою.
Якщо при тих же умовах або виникають з усе зростаючою амплітудою, або відбувається монотонне збільшення відхилення регульованої величини від її заданого рівноважного значення, то систему називають нестійкою.
Для того, щоб визначити, стійка або нестійка система, необхідно вивчити її поведінку при малих відхиленнях від рівноважного стану.
Якщо при цьому система прагне повернутися до рівноважного стану, то вона стійка. Якщо в системі виникають сили, які прагнуть збільшити відхилення системи від рівноважного стану, система нестійка.
Системи, в яких однією і тією ж вхідний величиною (впливу, що виводить систему з рівноважного стану) відповідає безліч значень вихідної величини, називають нейтрально-стійкими.
Розрізняють 2 види стійкості системи:
1) стійкість в малому.
2) стійкість у великому.
Система стійка в малому, якщо вона стійка при певних значеннях параметрів і умов роботи системи, тобто така стійкість оцінюється за допомогою лінійних диференціальних рівнянь.
Система стійка у великому - це стійкість системи без обмежень. Стійкість визначається за нелінійних диференціальних рівнянь.
Математично стійкість системи можна записати наступним чином:
Хвих (t)=Хс (t) + Хв (t);
де Хвих (t) - перехідний процес системи;
Хс (t) - власні коливання системи;
Хв (t) - вимушені коливання системи. Система буде стійка, якщо після зняття обурює впливу власні коливання системи прагнуть до нуля, т.е.
limXc (t)=0;
За допомогою критерію стійкості можна судити про стійкість системи безпосередньо за коефіцієнтами характеристичного рівняння без обчислення його коренів.
Частотні критерії в більшості випадків використовується як графоаналитических критеріїв.
Відмінною рисою більшості частотних критеріїв є те, що вони дозволяють судити про стійкість замкнутої системи по частотним характеристикам розімкнутої системи.
Так як стійкість системи можна оцінити за допомогою лінійний диференціальних рівнянь російський вчений Ляпунов вивів теореми стійкості системи на підставі коренів характеристичного рівняння.
Теореми Ляпунова
1) Якщо всі корені характеристичного рівняння має негативну дійсну частину, тобто розташовані в лівій частині комплексної півплощини, то система буде стійкою.
2) Якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння має позитивну дійсну частину, тобто знаходиться в правій півплощині, то така система буде нестійка.
) Якщо хоча б один з коренів характеристичного рівняння має дійсну частину, рівну нулю, то система знаходиться на межі стійкості.
Необхідною умовою стійкості системи є вимога, що полягає в тому, щоб всі коефіцієнти її характеристичного рівняння були позитивними. Це умови є необхідним, але недостатнім. Вже для системи вище другого порядку тільки позитивність коефіцієнтів характеристичного рівняння ще не гарантує стійкість системи. Необхідні і достатні умови стійкості системи визначається за допомогою критерію стійкості Рауса-Гурвіца, критерію Михайлова і амплітудно-фазового критерію Найквіста.
Критерій Михайлова
Критерій стійкості заснований на зв'язку між характером перехідного процесу, що виникає при порушенні рівноваги системи, і амплітудою і фазою вимушених вихідних коливань, які виникають під впливом гармонійного вхідного сигналу.
Для визначення стійкості по Михайлову необхідно в характеристичний рівнянні замкнутої системи замінити оператор Р на jw і тоді отримаємо таку функцію:
Всі доданки цієї функції, що містять jw в парному ступеня, будуть дійсною частиною характеристичного рівняння, а доданки непарної функції - уявною частиною.
Якщо змінювати частоту w від 0 до +, то векторопішет на комплексній площині криву, яка називається годографом Михайлова.
Визначення стійкості системи по Михайлову
Для того, щоб автоматична система управління була стійка, необхідно і достатньо, щоб годограф Михайлова, починаючись на позитивній частині дійсної осі, при зміні частоти w від 0 до +, обходив проти годинникової стрілки n-квадрантів, повертаючись на ...
