ого простору L 2 (R), тобто. У цьому випадку будь-яка функція може бути представлена ??у вигляді ряду:
,
Де
Спектрально-часовий аналіз (СВАН)
Як вже говорилося вище, в даній роботі буде так само використовуватися спектрально-часовий аналіз, він же - графічне представлення віконного перетворення Фур'є, тобто процедура спектрального аналізу часових рядів в ковзному тимчасовому вікні (попередньо виключається поліноміальний тренд , порядок якого відповідає тій кратності, з якою задане тимчасове вікно укладається в повній довжині ряду). Довжина вікна задається виходячи з необхідної детальності і спектрального складу процесу (вона повинна бути кратна періодам досліджуваних ритмів). Ми будемо задавати довжину 25% від довжини ряду. Результат зображується у вигляді спектрально-часової діаграми. На осі абсцис відкладається календарне час (в роках), відповідне центру ковзного тимчасового вікна. На осі ординат відкладаються величини частот в циклах в одиницю часу (рік). Кожен вертикальний стовпець являє собою амплітудний спектр Фур'є, розрахований в заданому ковзному тимчасовому вікні. Більш сильна зачерненной на діаграмах відповідає великим спектральним амплітудам. Про величинах амплітуд судять за шкалою рівнів, вміщеній близько діаграми. Повторюваність або стійкість домінуючих ритмів виражається у вигляді протяжних зачерненной смуг.
Але у цього аналізу є досить істотний недолік: в даному аналізі чим ширше обиране вікно, тим більше «відрізається» значень від початкового ряду після перетворення. Але, чим вже вікно, тим гірше визначаються частоти, домінуючі в даний момент часу. Наприклад, якщо довжина ряду 300 років, а ширина вікна 50 років, то в повчитися діаграмі буде відсутні за 25 років з кожного боку ряду.
За повторюваності або стійкості домінуючих ритмів також можна судити про ступінь впорядкованості процесу.
Для оцінки рівня впорядкованості процесів обчислюється т.зв. «Параметр хаотизации»:
,
де K=L/2 + 1 і L - довжина ковзного тимчасового вікна аналізу (кількість відліків), W (w, t) - амплітудний спектр на частоті w і часу t. Нульове значення параметра відповідає наявності однієї спектральної лінії (тобто ряд складається з однієї синусоїди), а одиничне - нагоди білого шуму. Таким чином, області підвищених значень параметра можуть свідчити про моменти підвищеної «хаотизации» процесу (наприклад, при розпадного нестійкості з утворенням хаотичних коливань), а мінімальні значення параметра - більшої його «впорядкованості» (наприклад, при синхронізації різних гармонік на єдині граничні цикли).
Що стосується достовірності визначення досліджуваних параметрів, наприклад, амплітуд і періодів циклічних варіацій, залежить від похибок вихідних часових рядів, дисперсії і статистичного зміщення розраховуються оцінок параметрів, роздільної здатності аналізу. Інакше кажучи, характеристика достовірності даних грунтується на стандартних прийомах довірчого оцінювання. Як правило, ми прагнемо визначити спектрально-тимчасову структуру процесів. Тому для нас найбільш важливо знати, наскільки достовірні виділяються ритмічні складові на СВАН-діаграмах. Інтерпретуючи їх, ми оцінюємо, у скільки разів амплітуди ритмічних компонент перевищують шум і скільки періодів укладається в інтервал часу, коли простежується та чи інша виділяється гармоніка. Якщо амплітуда гармоніки перевищує амплітуду шуму в кілька разів і виділяється досить протяжна смуга (в яку укладається хоча б кілька періодів), яка підтверджується спостереженнями в інші інтервали часу або на східних об'єктах, то можна впевнено говорити про існування в цьому процесі даного ритму.
Порівняння методів аналізу
Для того, щоб зрозуміти, як всі ці методи працюють, наочно уявімо результат обробки синусоїдного сигналу кожним з них (рис.9)
Рис.9. Порівняння методів аналізу.
На малюнку 9 представлений синусоїдного сигнал, частота якого збільшується з часом, нехай для простоти одиниці по осі x будуть року. Як видно з малюнка, Фур'є-перетворення дає інформацію про наявність тієї чи іншої частоти в даному сигналі, але при цьому, коли саме ці частоти були присутні нам не відомо. У той же час СВАН- і вейвлет- аналізи дають чітку картину динаміки зміни частотних характеристик у часі. На обох малюнках видно, що домінуючий сигнал періодом приблизно 120 років, потім змінився на період довжиною 35 років, а в кінці - приблизно 5-ти літній період. Так само в СВАН-діаграмі за ступенем яскравості сплесків видно, що амплітуда всіх трьох складових сигналів однакова. Але, як говорилося вище, в СВАН-діаграмі є недоліки - втрата частини ряду при перетворенні: це ...
