з нульовим математичним очікуванням (
M ? i =0) і невідомої постійної? 2 (
D ? i =? 2).
На практиці рекомендується, щоб значення п перевищувало k не менш ніж у три рази.
У моделі (4)
(5)
У першому стовпці матриці Х вказуються одиниці при наявності вільного члена в моделі (3). Тут передбачається, що існує змінна x 0 , яка у всіх спостереженнях приймає значення, рівні одиниці.
Основне завдання регресійного аналізу полягає в знаходженні за вибіркою обсягом п оцінки невідомих коефіцієнтів регресії ? 0 ,? 1 , ...,? k моделі (3) або вектора ? в (4).
Так як в регресійному аналізі х j розглядаються як невипадкові величини, a M ? i =0, то згідно (3) рівняння регресії має вигляд
(6)
для всіх i =1, 2, ..., п , або в матричній формі:
(7)
де - вектор-стовпець з елементами 1 ..., i , ..., n .
Для оцінки вектора-стовпця? найбільш часто використовують метод найменших квадратів, згідно з яким в якості оцінки приймають вектор-стовпець b, який мінімізує суму квадратів відхилень спостережуваних значень уi від модельних значень i, тобто квадратичну форму:
(8)
де символом «Т» позначена транспонована матриця.
Диференціюючи, з урахуванням (7) і (6), квадратичну форму Q по ? < i align="justify"> 0 ,? 1 , ...,? k і прирівнюючи приватні похідні до нуля, одержимо систему нормальних рівнянь
(9)
вирішуючи яку отримаємо вектор-стовпець оцінок b, де b=(b 0 , b 1 , ..., b k ) T . Відповідно до методу найменших квадратів, вектор-стовпець оцінок коефіцієнтів регресії виходить за формулою
(10)
Х T - транспонована матриця X;
(Х T Х) - 1 - матриця, зворотна матриці Х T Х.
Знаючи вектор-стовпець b оцінок коефіцієнтів регресії, знайдемо оцінку рівняння регресії
(11)
або в матричному вигляді:
(12)
[9]
1.6 Множинна нелінійна регресія
Кілька явищ можуть бути з'єднані між собою нелінійними співвідношеннями. У цьому випадку для опису залежностей слід скористатися множинної нелінійної регресією. Тут також розрізняють множинну нелінійну регресію першого і другого класів.
Виходячи з логічних міркувань процедура побудови рівняння множинної нелінійної регресії повинна бути аналогічна процедурі визначення простий нелінійної регресії. Розглянемо наступний приклад квазилинейной регресії, обмежившись двома пояснюючими змінними:
(13)
Якщо професійно-теоретичний аналіз економічного явища дозволяє функції від пояснюють змінних представити у вигляді
(14)
(15)
то залежність (13) виражається так:
(16)
Застосовуючи метод найменших квадратів, знаходять параметри a, b 1 ... d 1 Але в цьому випадку рівняння (16) можна відносно просто звести до лінійного вигляду, переобозначив змінні. Обмежившись тільки цим зазначенням, що не будемо записувати рівняння в лінійній формі.
З функцій множинної нелінійної регресії другого класу, які допускають линеаризацию, становлять великий економічний інтерес виробничі функції. Поняття виробничої функції важко описати вербально. Виробничі функції спочатку використовувалися для дослідження причинно-наслідкових відносин у виробничій сфері. Потім вони стали дуже популярним засобом аналізу економічних явищ, що пояснюється як простотою виду ...
