Величина визначається аналогічно, але при цьому треба враховувати, що у реалізації групи моменти часу і належать різним тактовим інтервалам, тому випадкові величини і з групи будуть незалежні, що дозволяє написати:
по () (по) (по)
=0 · 0=0. (10)
Підставляючи (9) і (10) в (8), отримаємо
. (11)
Для визначення ймовірності на кожній реалізації (рис. 5) Введемо інтервал, рівний віддалі від моменту до найближчого моменту часу, при якому може відбутися зміна знака реалізації. На рис. 5 видно, що кожна реалізація має свою величину цього інтервалу і тому інтервал є величина випадкова. Якщо момент часу перенести в точку момента часу, то за змістом величина інтервалу заміниться на величину інтервалу на рис. 5. Отже, величина інтервалу є випадкова величина, що має ту ж щільність ймовірності, що і випадкова величина, т. Е. Рівномірну (рис. 7).
Рис. 7. Щільність ймовірності випадкової величини
На рис. 5 видно, що для всіх реалізацій групи виконується нерівність
, (12)
де - відома детермінована величина.
Нерівність (12) є формальним (математичним) ознакою того, що реалізація або належить групі Для реалізацій групи аналогічним ознакою є виконання нерівності
. (13)
Таким чином, ймовірність дорівнює ймовірності виконання нерівності (12), т. е.
(14)
Знаючи щільність ймовірності (рис. 7), можна знайти величину
=====. (15)
При обчисленні інтеграла (15) верхня межа інтегрування, рівний, замінюємо кінцевою величиною, так як при значеннях подинтегральная функція (рис. 7) дорівнює нулю. Таким чином, дорівнює тій частині площі прямокутника, яка на рис. 7 позначена штрихуванням. Аналогічно, використовуючи нерівність (13), можна знайти величину. Підставляючи величину в (11) при, запишемо кореляційну функцію
=. (16)
Права частина (16) залежить тільки від, т. е.. З огляду на це властивість кореляційної функції, а також те, що (т. Е. Математичне очікування не залежить від часу), робимо висновок, що даний процес є стаціонарним процесом в широкому сенсі. Використовуючи (7) і (16), можна побудувати графік функції при (рис. 8).
Рис. 8. Графік при
На інтервалі графік має форму прямої лінії, що має негативний нахил, що проходить через точку на осі ординат, і точку на осі абсцис.
Лінійна залежність графіка (рис. 8) з негативним нахилом пояснюється тим, що аргумент входить в (16) в першого ступеня і перед ним стоїть знак мінус .
Стационарность процесу дозволяє продовжити криву в область негативних значень lt ;, використовуючи властивість симетрії кореляційної функції стаціонарного процесу.
Аналітичне вираження для кореляційної функції, справедливе, як для значень gt ;, так і для значень lt ;, має вигляд
(17)
Кореляційною функції відповідає графік рис. 9.
Рис. 9. Графік кореляційної функції
. Визначимо дисперсію заданого випадкового процесу. Відомо, що дисперсія стаціонарного процесу дорівнює значенню кореляційної функції при значенні, т. Е.
. (18)
З графіка рис. 9 випливає, що задовольняє наступному межі
, (19)
що є необхідною і достатньою умовою ергодичності даного стаціонарного процесу.
Таким чином, розглянутий випадковий процес є не тільки стаціонарним, а й ергодичним процесом. Тоді імовірнісні характеристики, такі як математичне очікування, дисперсія і кореляційна функція, можуть бути визначені за допомогою тільки однієї реалізації з ансамблю процесу шляхом відповідних усреднений цієї реалізації за часом.
. Для визначення спектральної щільності потужності випадкового процесу використовується теорема Вінера-Хинчина, яка справедлива тільки для стаціонарних центрованих процесів.
=. (20)
Маємо, оскільки є парною функцією аргументу, а - непарна функція (твір парної функції на непарну є непарною функцією, а інтеграл від будь непарної функції в зазначених межах інтегрування дорівнює нулю).
Враховуючи парність подинтегральной функції в (20), а також формулу (17), замість (20) можна написати
=
(21)
Використовуючи метод інтегрування частинами, після елементарних перетворень одержимо остаточний результат
(22)
Графік функції представлений на рис. 10.
Рис. 10. Спектральна щільність
Функція (22) в точках звертається в нуль, і крива при цих значеннях стосується осі абсцис.
Основна частка потужності сигналу зосереджена обмеженою смузі частот поблизу частоти. Випадковий синхронний телеграфний сигнал, має теоретично нескінченну протяжність с...
