б) щільність ймовірності
Графік функції побудований на основі визначення функції і властивостей випадкового процесу, зазначених у п. 1.
Дійсно, коли, ймовірність, так як заданий сигнал значень, менших, не приймає. Тому для значень. Коли, ймовірність, так як сигнал приймає значення з імовірністю. Тому крива в точці стрибком змінюється з нульового рівня до рівня.
В інтервалі lt; lt; 2 зберігається ймовірність для будь-якого з цього інтервалу, так як в цьому інтервалі сигнал не приймає ніяких значень, тому
.
Коли, ймовірність, оскільки значення сигнал приймає з імовірністю 0,5 і значення також з імовірністю 0,5. Звідси. Тому в точці функція стрибкоподібно змінюється ще раз на величину 0,5, досягаючи значення, рівного 1. Оскільки не може приймати значення більше 1 і не може спадати при збільшенні аргументу, маємо при значеннях gt; 2.
. Як відомо, щільність ймовірності випадкового процесу пов'язана з функцією формулою
Обчислюючи похідну від кривої (рис. 4, а), отримаємо графік щільності ймовірності (рис. 4, б). На тих інтервалах на осі, на яких диференціюється функція постійна, похідна дорівнює нулю і лише в точках і, де функція має розриви безперервності 1-го роду, похідна відрізняється від нуля. З теорії узагальнених функцій відомо, що величина похідної в цих точках дорівнює? -функції, Помноженої на чисельний коефіцієнт, що дорівнює величині стрибка диференціюється. Згідно рис. 4, б аналітичний вираз для функції має вигляд
, (3)
т. е. являє собою суму двох? -функцій. Видно, що знайдена щільність ймовірності задовольняє умові нормування, оскільки кожна? -функція В (3) обмежує площу, рівну 0,5.
. Визначимо математичне очікування процесу:
. (4)
Отриманий результат означає, що процес не є центровані випадковим процесом, оскільки. Центрований процес буде дорівнює
. (5)
. На рис. 5 показано чотири довільні реалізації,, і центрированного процесу.
Рис. 5. Реалізації випадкового сигналу
Межі тактових інтервалів для першої реалізації позначені, і ці ж моменти часу позначені на графіках інших реалізацій. На рис. 5 видно, що кордони тактових інтервалів у різних реалізацій не збігаються, т. Е. Будь-який момент часу на інтервалі може з рівною імовірністю виявитися моментом початку такту для інших реалізацій:
,, і т. д.
Таким чином, інтервал часу між точкою та початком тактового інтервалу є випадкова величина, рівномірно розподілена на інтервалі.
Рис. 6. Графік щільності ймовірності
Графік щільності ймовірності цієї випадкової величини зображений на рис. 6.
Кореляційна функція для сигналу визначається за формулою
. (6)
Визначимо для двох випадків: а) gt ;; б).
а) Якщо gt ;, то моменти часу і в кожній реалізації належать різним тактовим інтервалам. У випадку а) випадкова величина буде дорівнює добутку двох незалежних випадкових величин і. Як відомо, математичне очікування твори незалежних випадкових величин дорівнює добутку математичних очікувань співмножників, т. Е.. Оскільки даний процес є центровані (т. Е.), То з (6) при gt; слід
. (7)
б) Якщо lt ;, то моменти часу і для однієї частини реалізацій ансамблю будуть належати одному тактовому інтервалу, а для іншої частини реалізацій ансамблю моменти часу і належатимуть сусіднім тактовим інтервалам.
На рис. 5 проведені дві вертикальні лінії, що перетинають всі реалізації, лівою лінії відповідає момент часу, а правою лінії - момент часу. Відстань між вертикальними лініями позначено через lt ;. Всі реалізації з ансамблю випадкового процесу в даному випадку можна розділити на дві групи: і.
У групу введемо всі реалізації, у яких моменти часу і належать одному тактовому інтервалу. У цю групу з чотирьох реалізацій (рис. 5) потраплять реалізації: і.
У групу введемо всі реалізації, у яких моменти часу і належать різним (сусіднім) тактовим інтервалам. У цю групу потраплять реалізації: і.
Математичне сподівання випадкової величини по всьому ансамблю випадкового процесу отримаємо, якщо спочатку роздільно знайдемо математичні очікування цього твору по реалізаціям групи і по реалізаціям групи а потім знайдені математичні очікування усереднити по обох групах. Тоді
(за і) (по) (по)
== +, (8)
де і - ймовірності того, що реалізація увійде, відповідно, в групу або групу.
(по)
Визначимо. Для будь-якої реалізації, що потрапила в групу, твір. Наприклад:
якщо, то твір
;
якщо, то твір
і т. д.
Таким чином, отримаємо
(по)
. (9)
(по)
...
