ри прійманні партії підлягає Перевірці половина виробів. Умів приймання передбачається НЕ больше, чем 2% бракованих виробів. Візначіті ймовірність того, что партію з 100 виробів, яка містіть 5% шлюбу, буде Прийнято.
Оскількі 2% від 50 дорівнює одініці, то через А позначімо подію, яка Полягає в тому, что во время перевіркі НЕ ОТРИМАНО жодних бракованого вироб, а через В - позбав один бракування віріб. Партію з 100 виробів, яка містіть 5% шлюбу (тоб 5 бракованих виробів), буде Прийнято за умови, что має місце або Подія А, або Подія В. Події А і В є несуміснімі. Тому за формулою (1) Шуканов є ймовірність події C = AU B.
Із 100 виробів 50 можна вібрато C 50 100 ) способами. Із 95 небракова-них виробів 50 можна вібрато C 50 95 способами. Тому
В
Приклад 3. Для виготовлення деталі Придатний є валики з діаметром 11,99 - 12,20 мм. Автомат виготовляє 1% валіків, діаметр якіх менший від 11,99 мм, і 2% - діаметр якіх більшій за 12,20 мм. Яка ймовірність того, что навмання взятий з віробленої партії валик буде непригодна для виготовлення деталі?
Нехай А - Подія, ймовірність Якої треба візначіті. Тоді бє¶ - Подія, яка Полягає в тому, что навмання взятий валик Придатний. p> За формулою (3) знаходимо
В
В
В§ 8. Теорема додавання ймовірностей довільніх подій
Теорема. Если А i В - довільні події, то
В
Если події А і В несумісні, то Р (А ∩ В) = Г?, и правільність формули (1) віпліває з рівності (1) В§ 7. br/>В
Віднявші від рівності (4) Рівність (2), знаходимо
Р (А) + Р (В) = Р (А US) - P (A ∩ В),
Звідки и віпліває Рівність (1).
В
В
Приклад 2. У групі 30 учнів. З них 12 вівчають німецьку мову, 15 - англійську, 5 - англійську и німецьку, а решта - Інші мови. Яка ймовірність того, что навмання Вибраний учень вівчає англійську або німецьку?
Позначімо події: А - навмання Вибраний учень вівчає німецьку мову; В - навмання Вибраний учень вівчає англійську мову. За умів n (A) = 12, п (В) = 15. Події А і В є суміснімі, оскількі А ∩ В в‰ Г? и n (А ∩ В) = 5 (рис. 305). Тоді
В
В§ 9. Умовні ймовірності
Часто одна Подія А впліває на можлівість появи Іншої події. У цьом випадка події А і В назівають перелогових. Нехай, Наприклад, з урні, в якій 15 білих и 10 чорних куль, навмання виймають послідовно одну за одною Дві Кулі. Розглянемо події: А - перша куля біла, В - друга куля біла. Зрозуміло, что Р (А) = 15/25 = 3/5. Якою буде ймовірність події В? p> Если Подія А Відбулася, то среди 24 куль, что залиша, білих 14 и Р (В) = 14/24 = 7/12; ЯКЩО ж Подія А чи не Відбулася (перша куля виявило чорний), то Р {В) = 15/24 = 5/8.
Отже, ймовірність появи події в покладах від Здійснення події А, тоб А і В - залежні події. У такому випадка кажуть, что ймовірність появи події У умовна.
Означення. Нехай А і В - довільні події. Умовний ймовірністю Р (В/А) події У назівають ймовірність події B, знайдення в пріпущенні, что Подія А Вже Відбулася.
Теорема. Если A i В-довільні події, причому Р (А) в‰ 0, то
Р (АПВ) = Р (А)-Р (В/А). (1)
Нехай для події А сприятливі є т рівноможлівіх НАСЛІДКІВ випробування Із Загальної їх кількості п, а для події А ∩ В - k (рис. 306). Тоді
В
прото ЯКЩО Подія А Відбулася, Можливі позбав ті т НАСЛІДКІВ випробування, Які є сприятливі для події А, причому k з них очевидно є сприятливі для події В. Отже,
В
Зх умови Р (А) в‰ 0 віпліває, что т = 0.
Другові з рівностей (2), ВРАХОВУЮЧИ Першу з них и Рівність (3), можна записатися у вігляді
В
что ї треба Було довести.
доведенням теорему назівають теореми множення ймовірностей для двох подій. Помінявші місцямі А і В, дістанемо інші записи цієї теореми:
В
В
Приклад. На заводі 96% телевізорів візнаються Придатний. У Кожній партії з 100 Придатний телевізорів у СЕРЕДНЯ 75 є Першого сорту. Знайте ймовірність того, что телевізор, взяття з Такої партії, є Першого сорту.
Подія А - телевізор є Придатний, Подія В - телевізор є Першого сорту. Шуканов завбільшки є Р (А ∩ В), оскількі для того, щоб телевізор БУВ Першого сорту, треба, щоб ВІН одночасно БУВ и Придатний (Подія А), и Першого сорту (Подія В). За умів Р (A) = 0,96, Р (В/А) = 0,75. Отже,
Р (А ∩ В) = Р (А) • Р (У І А) = 0,96 • 0,75 = 0,72.
В§ 10. Теорема про множення ймовірностей незалежних подій
Означення 1. Події А і В назіваються Незалежності, ЯКЩО Настанов однієї з подій НЕ впліває на ймовірність Настанов Другої події.
З цього Означення віпліває, что незалежні події - це Такі Дві рівності:
Р (А/В) = Р (А), Р (В/А) = Р ...
