(В). (1)
Теорема. Ймовірність одночасної появи двох незалежних подій дорівнює добутку ймовірностей ціх подій.
Оскількі Р (А ∩ В) = Р (А/В) • Р (В), то, ВРАХОВУЮЧИ Рівність (1), дістаємо
Р (А ∩ В) = Р (А) • Р (В). (2)
навпаки, неважко довести, что Виконання рівності (2) означає незалежність подій А і В. Справді, оскількі
В
то відповідно до зазначеного умовної ймовірності праву Частину цього вирази можна замініті на Р (А/В), тоб Р (А) = Р (А/В). Аналогічно дістаємо Р (В) = Р (В/А). Отже, Рівність (2) гарантує незалежність подій.
Означення 2. Кілька подій назіваються Незалежності в сукупності, ЯКЩО будь-яка з них не залежиться від будь-якої сукупності решти.
Для незалежних у сукупності подій має місце Рівність
В
Формула (3) є узагальнення формули (2) на випадок будь-якої скінченної кількості незалежних у сукупності подій.
На практіці для перевіркі незалежності подій Рідко Використовують Означення. Частіше Прокуратура: з інтуїтівніх міркувань, пов'язаних з характером випробування. Так, при підкіданні двох монет очевидно, что з'явиться Якої-небудь стороні на одній з них не впліває на умови підкідання Іншої. Тому віпадання будь-яких СТОРІН на Кожній з них є Незалежності подіямі.
Приклад 1. Імовірність безвідмовної роботи верстатов ПРОТЯГ Зміни дорівнює 0,9. Знайте ймовірність безвідмовної роботи двох верстатів ПРОТЯГ Зміни.
Подія А - безвідмовна робота ПРОТЯГ Зміни Першого верстатов, В-іншого. Пріпускаючі, что події А і В є Незалежності, за формулою (1) Знайдемо
В
Приклад 2. Робітник обслуговує Чотири Однаково верстатов. Ймовірність того, что будь-який верстат ПРОТЯГ години потребує уваги робітніка, дорівнює 0,6. Пріпускаючі, что виходи з ладу будь-якого верстатов Ніяк НЕ пов'язані между собою, знайте ймовірність того, что ПРОТЯГ години: а) УСІ Чотири верстати потребуються уваги робітніка, б) Жоден з верстатів НЕ потребує уваги робітніка.
а) Позначімо через А 1 , А 2 , А 3 , А 4 події, Які полягають в тому, что ПРОТЯГ години потребуються уваги робітніка відповідно перший, другий, Третій, четвертий верстати. Події А 1 , А 2 , A 3 , А 4 є Незалежності. Тому за формулою (3) дістанемо
В
б) Імовірність того, что ПРОТЯГ години верстат (будь-який) НЕ потребуватіме уваги робітніка, Знайдемо за правилом відшукання ймовірності протілежної події:
В
В
В§ 11. Формула повної ймовірності
Припустиме, что Подія A может настати Тільки разом з однією Із попарно несумісніх подій H 1 , H 2 , ... Н п , Які утворюють повну групу подій (рис. 307).
Теорема. Ймовірність події A, яка может настати позбав за умови появи однієї Із попарно несумісніх подій Н 1 , H 2 , ... Н п , Які утворюють повну групу, візначається за формулою
Р (А) = Р (А/Н 1 ) О‡ Р (Н 1 ) + Р (А/Н 2 ) О‡ Р (Н 2 ) + ... + Р (А/Н п ) О‡ Р (Н п ). (1)
Если Подія А Відбулася разом з однією Із подій H 1 , H 2 , ... Н п , то це означає, что Відбулася одна Із попарно несумісніх подій A ∩ H 1 , A ∩ H 2 , ... A ∩ Н п . Отже,
В
Тому, застосовуючі теорему про додавання ймовірностей несумісніх подій, дістаємо
В
За теоремою множення довільніх подій маємо
В
Підставівші Рівність (3) у Рівність (2), дістаємо Рівність (1). Формулу (1) назівають формулою повної ймовірності. p> Приклад 3. Із Першого автомата на конвеєр Надходить 20% деталей, з іншого - 30%, з третього - 50%. Перший автомат Дає в СЕРЕДНЯ 0,2% бракування деталей, другий - 0,3%, Третій - 0,1%. Яка ймовірність того, что на конвеєр надійшла бракована деталь?
Позначімо події: Н 1 - Дана деталь Виготовлена ​​дерло автоматом, H 2 - дана деталь Виготовлена ​​іншим автоматом, H 3 - дана деталь Виготовлена ​​третім автоматом, А - деталь, что надійшла на конвеєр, бракована.
За умовоюP (Н 1 ) = 0,2; Р (H 2 ) = 0,3; Р (Н 3 ) = 0,5; Р (А/Н 1 ) = 0,002; Р (А/Н 2 ) = 0,003; Р (А/Н 3 ) = 0,001.
За формулою повної ймовірності
P (А) = 0,002-0,2 + 0,003-0,3 + + 0,0010,5 = 0,0018.
В
В§ 12. Імовірності гіпотез. Формула Байєса
Нехай Подія А може настати за умови появи однієї з попарно несумісніх подій H 1 , H 2 , ... Н п , Які утворюють повну групу. Через ті, что заздалегідь невідо...
