можна розв'язати всі квадратні рівняння. Наприклад, квадратне рівняння x 2 = - 1 на множині дійсних чисел рішень не має, так як серед дійсних чисел немає такого числа, квадрат якого від'ємний.
Таким чином, дійсних чисел явно недостатньо, щоб побудувати таку теорію квадратних рівнянь, в рамках якої кожне квадратне рівняння було б вирішуваний. Це міркування приводить до необхідності вводити нові числа і розширювати множина дійсних чисел до безлічі комплексних чисел, в якому було б вирішуваний будь квадратне рівняння.
Згадаймо про єдиний принцип розширення числових систем і поступимо відповідно до цього принципу.
Якщо безліч А розширюється до безлічі В , то повинні бути виконані наступні умови:
. Безліч А є підмножина В .
. Відносини елементів множини А (зокрема, операції над ними) визначаються також і для елементів множини В ; сенс цих відносин для елементів множини А , розглянутих вже як елементи множини В, повинен збігатися з тим, який вони мали в А до розширення.
. У безлічі В повинна виконуватися операція, яка в А була нездійсненна або не завжди здійсненна.
. Розширення В має бути мінімальним з усіх розширень даної множини А , що володіють першими трьома властивостями, причому це розширення В має визначатися безліччю А однозначно (з точністю до ізоморфізму).
Отже, розширюючи множина дійсних чисел до безлічі нових чисел, названих комплексними, необхідно, щоб:
а) комплексні числа підпорядковувалися основним властивостям дійсних чисел, зокрема, коммутативностью, асоціативному і дистрибутивному законам;
б) в новому числовому безлічі були вирішувані будь квадратні рівняння.
Безліч дійсних чисел недостатньо широко, щоб у ньому були б розв'язні всі квадратні рівняння. Тому, розширюючи множина дійсних чисел до безлічі комплексних чисел, ми вимагатимемо, щоб у ньому можна було б побудувати повну і закінчену теорію квадратних рівнянь. Іншими словами, ми розширимо множина дійсних чисел до такого безлічі, в якому можна буде вирішити будь квадратне рівняння. Так, рівняння не має рішень у безлічі дійсних чисел тому, що квадрат дійсного числа не може бути негативним. У новому числовому безлічі воно повинно мати рішення. Для цього вводиться такий спеціальний символ i , званий уявною одиницею, квадрат якого дорівнює - 1.
Нижче буде показано, що введення цього символу дозволить здійснити розширення множини дійсних чисел, поповнивши його уявними числами виду bi (де b - дійсне число) таким чином, щоб в новому числовому безлічі (безлічі комплексних чисел) при збереженні основних законів дійсних чисел були вирішувані будь квадратні рівняння.
Операції над комплексними числами
1. Існує елемент i (уявнаодиниця) такий, що i 2 =- 1.
. Символ a + bi називають комплексним числом з дійсною частиною a і уявною частиною bi , де a і b - дійсні числа, b - коефіцієнт уявної частини.
Комплексне число a + 0 i ототожнюється з дійсним числом a , тобто a + 0i=a , зокрема, 0 + 0i=0 . Числа виду bi () називають чисто уявними.
Наприклад, комплексне число 2 + 3i має дійсну частину - дійсне число 2 і уявну частину 3i , дійсне число 3 - коефіцієнт уявної частини.
Комплексне число 2 - 3i має дійсну частину число 2 , уявну частину - 3i , число - 3 - коефіцієнт при уявній частині.
. Правило рівності. Два комплексних числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх дійсні частини і рівні коефіцієнти уявних частин.
Т.е., якщо a + bi=c + di , то a=c, b=d: і, назад, якщо a = c , b = d , то a + bi = c + di .
. Правило додавання і віднімання комплексних чисел.
( a + bi ) + ( c + di )=( a + c ) + ( b + d ) i.
Наприклад:
( 2 + 3i ) + ( 5 + i )=(2 + 5) + (3 + 1) I =7 + 4 i ;
(- 2 + 3 i ) + (1 - 8 i )=(- 2 + 1) + (3 + (- 8)) i =- 1 - 5 i ;
(- 2 + 3 i ) + (1 - 3 i )=(- 2 + 1) + (3 + (- 3)) i =- 1 + 0 i =- 1.
Віднімання комплексних чисел визначається як операція, зворотна додаванню, і виконується за формулою:
(a + b i ) - (c + d i )=(a - c) + (b - d) i .
Наприклад:
(5 - 8 i ) - (2 + 3 i )=(3 - 2) + (- 8 - 3) I =1 - 11 i ;
(3 - 2 i ) - (1 - 2 i <...
