н, який має їх корінням: Відповідь: 2, 3, 1/3.
З одного боку, по основній теоремі алгебри, задавши коефіцієнти, ми однозначно визначаємо набір з n комплексних чисел - коренів цього многочлена. З іншого боку, задавши корені многочлена, за формулами Вієта однозначно визначимо величини. Для простоти розглянемо підмножина многочленів ступеня n , що мають старший коефіцієнт рівним 1. Отримуємо тоді взаємно-однозначна відповідність
.
Кожен корінь многочлена є функцією його коефіцієнтів, тобто формально кажучи, функцією від багатьох перемінних. Для ступенів многочлена, великих 4 не існує загальних «хороших формул», що виражають корені многочлена через його коефіцієнти. Незважаючи на це, формули Вієта підтверджують, що деякі комбінації цих невідомих нам функцій виявляються рівними коефіцієнтам многочлена. Яка основна відмінна особливість цих комбінацій?
Визначення 5 Функція називається симетричної функцією своїх змінних, якщо її значення не змінюються ні при якій перестановці цих змінних:
при всіх різних.
У лівих частинах формул Вієта якраз і стоять симметрические многочлени від.
2.5 Наведені і многочлени
Над полем дійсних чисел будь непріводімий многочлен однієї змінної має ступінь 1 або 2, причому многочлен 2-го ступеня неприводим над полем R тоді і тільки тоді, коли він має негативний дискримінант, наприклад, многочлен неприводим над полем дійсних чисел, оскільки його дискримінант негативний.
Криті? рий Е? йзенштейна - ознака неприводимости многочлена, названий на честь німецького математика Фердинанда Ейзенштейна. Незважаючи на (традиційне) назву, є саме ознакою, тобто достатньою умовою - але зовсім не необхідним, як можна було б припустити, виходячи з математичного сенсу слова «критерій»
Теорема (критерій Ейзенштейна) [4, стор. 524]. Нехай - многочлен над факторіальним кільцем R ( n gt; 0) , і для деякого неприводимого елемента p виконуються наступні умови:
не ділиться на p ,
ділиться на p , для будь-якого i від 0 до n - 1,
не ділиться на.
Тоді многочлен неприводим над F полем приватних кільця R .
Слідство. Над будь-яким полем алгебраїчних чисел існують непріводімий многочлен будь-якої наперед заданої ступеня; наприклад, многочлен, де n gt; 1 і p ? деякий просте число.
Розглянемо приклади застосування цього критерію, коли R - кільце цілих чисел, а F - поле раціональних чисел.
Приклади :
Многочлен неприводим над Q.
Многочлен розподілу кола неприводим. Справді, якщо він наводимо, наводимо і многочлен, а так як всі його коефіцієнти, крім першого є біноміальними, тобто діляться на p , а останній коефіцієнт p і до того ж не ділиться на те за критерієм Ейзенштейна він неприводим всупереч припущенням.
Наступні п'ять многочленів демонструють деякі елементарні властивості непріводімих многочленів:
,
Над кільцем Z цілих чисел, перші два многочлена - приводяться, останні два - Непріводімие. (Третій взагалі не є многочленом над цілими числами).
Над полем Q раціональних чисел, перші три многочлена є приводяться, двоє інших - непріводімимі.
Над полем R дійсних чисел, перші чотири многочлена - приводяться, але є непріводімим. У полі дійсних чисел непріводімимі є лінійні многочлени і квадратичні многочлени без дійсних коренів. Наприклад, розкладання многочлена в поле дійсних чисел має вигляд. Обидва множники в даному розкладанні є непріводімимі многочленами.
Над полем C комплексних чисел, всі п'ять многочленів - приводяться. Фактично, кожен відмінний від константи многочлен над C може бути розкладений на множники виду:
де n - степінь многочлена, a - старший коефіцієнт, - корені многочлена. Тому єдиними непріводімимі многочленами над З є лінійні многочлени (основна теорема алгебри).
2.6 Поле комплексних чисел
Історичний генезис комплексних чисел
Одна з причин введення раціональних чисел обумовлена ??вимогою, щоб всяке лінійне рівняння (де) було вирішуваний. В області цілих чисел лінійне рівняння вирішуваний лише в тому випадку, коли b ділиться без остачі на a .
Одна з причин розширення безлічі раціональних чисел до множини дійсних чисел була пов'язана з вирішуваною квадратних рівнянь, наприклад, рівняння виду. На безлічі раціональних чисел це рівняння не вирішуване, так як серед раціональних немає числа, квадрат якого дорівнює двом. Як відомо, - число ірраціональне. На безлічі ж дійсних чисел рівняння вирішуваний, воно має два рішення і.
І все ж не можна вважати, що на множині дійсних чисел ...
