/i>)=(3 - 1) + ((- 2) - (- 2)) i =2 + 0 i =2.
. Правило множення комплексних чисел.
( a + bi ) ( c + di )=( AС + bd ) + ( ad + bc ) i .
З визначень 4 і 5 випливає, що операції додавання, віднімання і множення над комплексними числами здійснюються так, як ніби ми виконуємо операції над многочленами, однак з умовою, що i 2=- 1.
Дійсно: ( a + bi ) ( c + di )= ac + adi + bdi 2 =( ac - bd ) + ( ad + bc ) i .
Наприклад:
(- 1 + 3 i ) (2 + 5 i )=- 2 - 5 i + 6 i + 15 i 2=- 2 - 5 i + 6 i - 15=- 17 + I ;
(2 + 3 i ) (2 - 3 i )=4 - 6 i + 6 i - 9 i 2=4 + 9=13.
З другого прикладу випливає, що результатом додавання, віднімання, твори двох комплексних чисел може бути число дійсне. Зокрема, при множенні двох комплексних чисел a + bi і a - bi , званих сполученими комплексними числами, в результаті виходить дійсне число, рівне сумі квадратів дійсної частини і коефіцієнта при уявної частини. Дійсно:
(a + bi ) ( a - bi )= a 2 - abi + abi - b 2 i 2= a 2 + b 2.
Твір двох чисто уявних чисел - дійсне число.
Наприклад:
; , І взагалі.
. Розподіл комплексного числа a + bi на комплексне число c + di визначається як операція зворотна множенню і виконується за формулою:
Формула втрачає сенс, якщо c + di=0, так як тоді c2 + d2=0, т. е розподіл на нуль і в безлічі комплексних чисел виключається.
Зазвичай поділ комплексних чисел виконують шляхом множення діленого і дільника на число, поєднане делителю.
Наприклад:
;
.
Спираючись на введені визначення неважко перевірити, що для комплексних чисел справедливі комутативними, асоціативний і дистрибутивний закони. Крім того, застосування операцій додавання, множення, віднімання і ділення до двох комплексним числам знову приводить до комплексних чисел. Тим самим можна стверджувати, що безліч комплексних чисел утворює поле. При цьому, оскільки комплексне число a + bi при b =0 ототожнюється з дійсним числом a = a + 0 i , то поле комплексних чисел включає поле дійсних чисел як підмножини.
Рішення квадратних рівнянь
Одна з причин введення комплексних чисел полягала в тому, щоб домогтися разрешимости будь-якого квадратного рівняння, зокрема рівняння x 2=- 1.
Покажемо, що розширивши поле дійсних чисел до поля комплексних чисел, ми отримали поле, в якому кожне квадратне рівняння вирішуваний, тобто має рішення. Так, рівняння x 2=- 1 має два рішення: x 1= i , x 2=- i .
Це неважко встановити перевіркою:,.
Перейдемо тепер до питання про рішення повного квадратного рівняння. Квадратним рівнянням називають рівняння виду:
(),
де x - невідома, a, b, c - дійсні числа, відповідно перший, другий коефіцієнти і вільний член, причому. Вирішимо це рівняння, виконавши над ним ряд нескладних перетворень.
Розділимо всі члени рівняння на і перенесемо вільний член в праву частину рівняння:
До обох частин рівняння додамо вираз з тим, щоб ліва його частина являла повний квадрат суми двох доданків:
витягти корінь квадратний з обох частин рівняння:
Знайдемо значення невідомої:
Тепер можна досліджувати отримане рішення. Воно залежить від значення подкоренного вирази, званого дискримінантом квадратного рівняння.
Якщо, тобто дійсне число і квадратне рівняння має дійсні корені.
Якщо ж то уявне число, квадратне рівняння має уявні корені.
Отже, введення комплексних чисел дозволяє розробити повну теорію квадратних рівнянь. У полі комплексних чисел вирішуваний будь квадратне рівняння.
Приклади.
3.Решіте рівняння.
Рішення. Знайдемо дискримінант
.
Рівняння має два дійсних кореня:
;.
. Розв'яжіть рівняння.
Рішення. , Рівняння має два рівних дійсних корені:
. Розв'яжіть рівняння.
Рішення. D=16 - 415=- 4 lt; 0, рівняння має уявні корені:
;
;
