ннях - одинадцятому) доповненні він виклав свої праці, за які отримав наукове визнання. В«Цією та іншими своїми роботами, в яких введені поняття кільця, модуля та ідеалу, Дедекінд заклав основи сучасного аксіоматичного викладу математичних теорій В»[13].
У тому ж році він знайомиться з Георгом Кантором. Знайомство перейшло в довголітню дружбу і співробітництво; Дедекінд став одним з перших прихильників канторовской теорії множин. Сформулював (1888 рік) систему аксіом арифметики (її зазвичай називають аксіомами Пеано), що містить, зокрема, точне формулювання принципу повної математичної індукції. Ввів в математику в узагальненому вигляді теоретико-множинне поняття відображення. У 1894 році Дедекінд пішов на заслужений відпочинок, але продовжував іноді читати лекції і публікуватися.
Він ніколи не був одружений і проживав зі своєю незаміжньою сестрою Юлією. Дедекінд обирався членом в Академії Берліна (1880) і Риму, а також у Французьку Академію наук (1900). Він отримав докторські ступені в університетах Осло, Цюріха і Брауншвейга. Видав лекції з теорії чисел, читані Дирихле, праці Гаусса, а також (спільно з Г. Вебером) повне зібрання творів Рімана. p> Дедекінд, також як і Вейерштрасс, виявив логічну трудність переходу від геометричного аналізу до арифметичного, що складається в невизначеності дійсного числа. Своє побудова дійсного числа Дедекінд відносить до осені 1858. Похід до матеріального числа Дедекинда близький до підходу Евдокса настільки, що деякі математики не відразу бачили відмінність [10]. Дедекінд виходить з геометричного уявлення про те, що точка ділить пряму на дві частини, які умовно можна назвати правою і лівою. Далі Дедекінд визначає перетин безлічі раціональних чисел як пару підмножин Q, таку що будь елемент з однієї безлічі завжди більше будь-якого елементу з іншого множини. Для визначеності будемо вважати, що. Перетини можуть бути визначені раціональним числом, тоді або має мінімальний елемент, або має максимальний елемент. Якщо ж ми побудуємо перетин володіє такою властивістю, то воно визначає раціональне число. Однак, існують перерізу не мають таке властивість, наприклад перетин всіх раціональних чисел, певне нерівністю. Таким чином, за допомогою розтину можна визначити нове число, яке однозначно визначається перетином. Ставлення рівності і порядку встановлюються за допомогою двох множин перерізу - Дедекінд показав, що існує тільки три співвідношення між класами перерізу, які і визначають упорядкованість поля дійсних чисел. Як і Кантор, він довів повноту побудованого безлічі чисел.
Дедекінд дав одне з перших визначень безперервності: В«Якщо розбити всі величини якійсь області, влаштованої безперервним чином, на два таких класу, що кожна величина першого класу менше будь-якої величини другого класу, то або в першому класі існує найбільша величина, або в другому класі існує найменша величина В»[4].
Слід відзначити, що попри безумовну строгість побудови, в підході Дедекинда відчувається велика геометричність, ніж у Вейерштраса, В«і Дедекінд і Кантор відразу ж висувають аксіому про взаімооднозначном відповідно між побудованими ними дійсними числами і точками прямої В»[4, стор 62]. <В
Висновок
Нові погляди в математичному аналізі не приживалися гладко. Жорстко критикував вчення Вейерштраса, наприклад, Кронекер. Критику Кантора можна впевнено порівняти з цькуванням. Але час довів правильність обраного курсу. Звичний нам вид математичного будівлі багато в чому був побудований завдяки таким вченим як Вейерштрасс, Кантор і Дедекінда.
Побудова дійсного числа завершило будівництво фундаменту для математичного аналізу. Питання аксіоматичної побудови аналізу був практично завершений: все, що залишалося зробити - це побудувати аксіоматику цілих і раціональних чисел. Ця завдання була завершена Ж. Пеано в 1889 році. Однак, побудова речового числа не є вузькоспеціальних питанням математики, як, наприклад, Велика теорема ферма. Завдяки роботам Вейерштраса, Кантора і Дедекинда в обіг увійшли актуально нескінченні об'єкти: дійсне число, стало фактично першим таким об'єктом. Строгі побудови засновані на аксіоматиці, сприяли переходу математиків від В«чуттєвогоВ», В«інтуїтивногоВ» до абстрактного і строгого. Узагальнені методи побудови дійсного числа стали згодом основою для теорії множин, функціонального аналізу, інтеграла Лебега. Так що з упевненістю можна сказати, що жодна людина не може стати математиком, не знаючи робіт трьох великих творців математики XIX століття.
Список літератури
[1] А. Даан-Дальмедіко, Ж. Пейффер. Шляхи і лабіринти. Нариси з історії математики. М.: Мир, 1986. p> [2] Н. Бурбак. Нариси з історії математики. М.: ІЛ, 1963. p> [3] Ф. Клейн. Лекції про розвиток математики в XIX столітті. М.-Л.: Гонті, 1937. p> [4] Ф.А. Медведєв. Розвиток теорії множин в XIX. М.: Наука, 1937. p> [5] П.Я. Кочина. Карл Вейерштрасс. М.: Наука, 1937...
