адана складна функція змінної
.
Теорема. Якщо функція неперервна в точці, а функція неперервна в точці, що відповідає точці, то складна функція неперервна в точці. p> Доказ . У силу безперервності функції в точці маємо:, тобто при маємо. Тому внаслідок безперервності функції в точці отримуємо, то є. Отже, межа функції в точці дорівнює її значенню в цій точці, що і доводить безперервність складної функції в точці. p> Зворотній функція і її безперервність.
Визначення. Функція називається неубутною (незростаюча) на множині, якщо для будь-яких і з цієї множини, які відповідають умові, справедливо нерівність (). Неубутною і незростаюча функції називаються монотонними. p> Визначення. Функція називається зростаючою (спадною) на множині, якщо для будь-яких і з цієї множини, які відповідають умові, справедливо нерівність (). Убуваючі і зростаючі функції називаються строго монотонними. p> Визначення. Нехай функція задана на відрізку, і нехай безліччю значень цієї функції є відрізок. Нехай кожному значенням з відрізка ставиться у відповідність по деякому закону єдине значення з відрізка, для якого. Тоді на відрізку можна визначити функцію, ставлячи у відповідність кожному з відрізка, то значення з відрізка, для якого. Функція називається зворотної для функції. p> У цьому визначенні замість відрізків і можна розглядати інтервали і чи вважати, що один або обидва інтервалу перетворюються на нескінченну пряму або у відкриту напівпряму,.
Зауважимо, що якщо - зворотна функція для функції, то функція - зворотна функція для функції. Функції і називаються взаємно зворотними. p> Взаємно обернені функції мають такими очевидними властивостями:
,
.
Приклад. Розглянемо на полупрямой функцію. Областю значень цієї функції є напівпряма. кожному поставимо у відповідність за формулою єдине значення. Тоді. Отже, є зворотною для функції. p> Приклад. Розглянемо на відрізку функцію. Областю значень цієї функції є відрізок. Позначимо через кут, що належить відрізку, синус якого дорівнює. Тоді функція буде зворотної до цієї. Дійсно,. p> Зауважимо, що при записі зворотної функції незалежну змінну нерідко позначають, а значення функції, тобто пишуть. Наприклад, - функція зворотна для функції. Функція - функція зворотна для функції. p> Теорема. Нехай на відрізку задана зростаюча (спадна) безперервна функція, і нехай і. Тоді ця функція має на відрізку () зростаючу (убуваючу) безперервну зворотну функцію. br/>
Безперервність елементарних функцій
Найпростішими елементарними функціями називаються такі функції: статечна, показова, логарифмічна, тригонометричні функції,,, і зворотні тригонометричні функції,,,.
Елементарними функціями називаються функції, отримані в результаті суперпозиції найпростіших елементарних функцій і арифметичних дій.
Всі елементарні функції неперервні в будь-якій точці свого визначення.
Цей важливий результат дозволяє, зокрема, легко знаходити межі елементарних функцій в точках, де вони визначені.
Приклад. Знайти. p> Рішення. Так як складна функція неперервна в точці, то. p align="center"> Властивості неперервних функцій
Визначення. Функція називається обмеженою на множині, якщо знайдуться такі дійсні числа і, що для всіх значень аргументу з безлічі справедливі нерівності. p> Зауважимо, що остання нерівність можна замінити нерівністю, де, і сформулювати наступне визначення обмеженої функції: функція називається обмеженою на множині, якщо знайдеться таке позитивне дійсне число, що для всіх значень аргументу з безлічі справедливо нерівність.
1. (Про стійкість знака безперервної функції). Якщо функція неперервна в точці, і якщо, то знайдеться така-околиця точки, що для всіх значень аргументу з вказаною-округа функція має знак, що співпадає із знаком. p> 2. (Про проходження безперервної функції через нуль при зміні знака). Нехай функція неперервна на відрізку і приймає на кінцях відрізка значення різних знаків. Тоді всередині відрізка знайдеться хоча б одна точка, в якій функція звертається в нуль (). p> 3. (Про проходження безперервної функції через будь проміжне значення). Нехай функція неперервна на відрізку, причому,. Нехай - будь-яке число, укладену між і. Тоді на відрізку знайдеться точка така, що. p> 4. (Перша теорема Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку, то вона обмежена на цьому відрізку. p> 5. (Друга теорема Вейєрштрасса). Якщо функція неперервна на відрізку, то вона досягає на цьому відрізку своїх максимального і мінімального значень, тобто на відрізку знайдуться точки і такі, що і. br/>
