>.
Слідство 1. Якщо потрібно знайти корінь з точністю Оµ, то кінчаємо ітераційний процес тоді, коли <Оµ, тобто коли.
Слідство 2. Так як = П† () і = П† ( x n-1 ), то - x n = П† ()-П† ( x n-1 ). По теоремі Лагранжа. З цього випливає, що якщо П† '(x)> 0 на (a, b), то послідовні наближення x n = П† (x n -1 ) ( n = 1, 2, ...) сходяться до кореня монотонно; якщо П† '(x) <0 на (a, b), то послідовні наближення коливаються близько кореня.
Теорема 2. Якщо на [a, b], а корінь і початкове наближення x 0 знаходяться на більш вузькому відрізку [О±, ОІ], де, то справедливі укладання теореми 1.
Привести рівняння f (x) = 0 до вигляду x = П† (x) таким чином, щоб отримати сходиться ітераційний процес, можна різними способами. Розглянемо два з них:
1) рівняння f (x) = 0 рівносильне при О» в‰ 0 рівняння О»f (x) = 0 і рівняння x = О»f (x) + x. Позначимо О»f (x) + x через П† (x), отримаємо x = П† (x). Параметр О» підберемо так, щоб функція П† '(x) = О»f' (x) +1 на [a, b] була за модулем менше одиниці.
2) якщо, то ітераційний процес розходиться. Замінимо рівняння x = П† (x) еквівалентним йому рівнянням x = П€ (x), де П€ (x) - функція, зворотна функції П† (x). Так як, то ітераційний процес x n = П€ (x n -1 ) буде збіжним.
Приклад. Методом ітерації знайти корінь рівняння 5x-8lnx = 8 з точністю 0,01.
Рішення. Запишемо рівняння у вигляді і побудуємо відповідні графіки:
В
Рівняння має два корені:. За початкові наближення візьмемо z 0 = 0,5 і x 0 = 3,5. Для уточнення запишемо. Тут
Отже, ітераційний процес сходиться. Похибка оцінимо за формулою, результати обчислень наведені в таблиці:
n
x
1 + lnx
В В
0
1
2
3
4
3,5
3,605
3,651
3,672
3,682
2,253
2,282
2,295
2,301
3,605
3,651
3,672
3,682
------
0,105
0,046
0,021
0,010
Так як П† '(z 0 ) ≈ 3> 1, то ітераційний процес розходиться. Знайдемо функцію, зворотну функції П† (x). Так як, то ітераційний процес буде сходиться. , результати обчислень наведені в таблиці:
n
z n
В В В
0
...
